Tienes razón, \ $ s = j \ omega \ $, entonces
$$ \ omega = \ frac {s} {j} = \ frac {js} {j ^ 2} = -j s $$
Sustituyendo eso en su función de transferencia
$$ H (j \ omega) = \ frac {10 + j \ omega} {4- \ omega ^ 2 + 4j \ omega} = \ frac {10 + s} {4- \ left (\ frac {s} { j} \ derecha) ^ 2 + 4s} = \ frac {10 + s} {4 + 4s + s ^ 2}, $$
desde \ $ \ frac {1} {j ^ 2} = \ frac {1} {- 1} = - 1 \ $.
Para encontrar \ $ h (t) \ $, necesitas calcular
$$ h (t) = L ^ {- 1} \ {H (s) \} = \ frac {1} {2 \ pi j} \ lim_ {T \ to \ infty} \ int_ {s = - \ gamma -jT} ^ {\ gamma + jT} H (s) e ^ {st} \; ds. $$
Puede hacer esto usando el teorema de residuos de Cauchy, o puede hacerlo más fácil para usted y usar tablas. En este caso,
$$ 4 + 4s + s ^ 2 = (s + 2) ^ 2, $$
así que con \ $ s '= s + 2 = s - (- 2) \ $,
$$ H (s) = \ frac {s '+ 8} {(s') ^ 2} = \ frac {1} {s '} + \ frac {8} {(s') ^ 2}, $$
y el resto debe ser trivial.
Actualizar
tenemos
$$ \ begin {align}
L \ {a f (t) + b g (t) \} & = a \, F (s) + b \, G (s) & \ text {(linealidad)} \\
L \ {1 \} & = \ frac {1} {s} & \ text {(constante)} \\
L \ {t \} & = \ frac {1} {s ^ 2} & \ text {(primer orden)} \\
L \ {t ^ n \} & = \ frac {n!} {S ^ n} & \ text {($ n $ -th order)} \\
L \ {e ^ {kt} f (t) \} & = F (s-k) & \ text {($ s $-shift shift)}
\ end {align}
$$
así que configurando \ $ F (s) = s ^ {- 1} \ $, luego \ $ f (t) = 1 \ $ y
$$ L ^ {- 1} \ left \ {\ frac {1} {s - (- 2)} \ right \} = e ^ {- 2t}, $$
y configurando \ $ F (s) = s ^ {- 2} \ $ para el siguiente término, luego \ $ f (t) = t \ $ y
$$ L ^ {- 1} \ left \ {\ frac {8} {(s - (- 2)) ^ 2} \ right \} = 8t \, e ^ {- 2t}, $$
así que terminas con
$$ h (t) = L ^ {- 1} \ {H (s) \} = (1 + 8t) e ^ {- 2t} $$