En teoría, sé que el código digital de \ $ n \ $ unos (el código digital para \ $ V_ {DD} \ $) es igual a \ $ 2 ^ n - 1 \ $.
Por ejemplo, el código 111 es igual a \ $ 2 ^ 3 - 1 \ $ cuando \ $ n = 3 \ $. Esto es porque
$$
1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 0 = 2 ^ 3 - 1
$$
¿Por qué esta fórmula siempre funciona?
Este es un problema matemático.
el código digital de n 1 corresponde a:
$$ N = 1+ \ color {rojo} {2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + \ cdots + 2 ^ {n-1}} \ tag1 $$ ecuación multiplicadora \ $ (1) \ $ con \ $ 2 \ $: $$ 2N = \ color {rojo} {2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + \ cdots + 2 ^ {n-1}} + 2 ^ {n} \ tag2 $$
\ $ (2) - (1) \ $ dará: $$ N = 2 ^ n -1 $$
Piensa en los números con los que estás más familiarizado. El número 1234 realmente significa:
$$ 1 * 10 ^ 3 + 2 * 10 ^ 2 + 3 * 10 ^ 1 + 4 * 10 ^ 0 $$
entonces: 9999 es:
$$ 9 * 10 ^ 3 + 9 * 10 ^ 2 + 9 * 10 ^ 1 + 9 * 10 ^ 0 = 10 ^ 5 - 1 = 10000 - 1 $$
Este es un ejemplo de una decimal series de potencias.
La serie de potencias binaria es la misma pero cada columna es una potencia de 2 más alta que la columna anterior, en lugar de una potencia de 10
El problema básicamente se reduce a realizar la suma de una serie geométrica $$ \ sum_ {i = 1} ^ {n} 2 ^ {i-1} $$ que se puede encontrar que es $$ \ dfrac {1 (2 ^ {n} -1)} {2-1} $$ que da la respuesta.
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