@OlinLathrop ya le dio una excelente explicación en términos técnicos. Como también solicitó una analogía simple, intentaré proporcionar una.
Piense en un circuito de tanques LC como un swing .
Si le das un empujón al columpio, oscilará por un tiempo hasta que descanse nuevamente. Pero si le das un empujón al swing cada vez que baja, entonces la oscilación puede durar para siempre (bueno, al menos hasta que estés demasiado cansado). El transistor en el circuito actúa como la persona que empuja el swing. Toma su energía muscular (la fuente de alimentación de CC) y la convierte en impulsos para el swing.
Si tiene alguna experiencia con los columpios, sabe que para obtener una buena oscilación permanente, no puede empujar el columpio al azar, pero debe empujar en el momento correcto y en la dirección correcta ( con la fase correcta ). En el oscilador LC, el transistor puede hacer eso: "ve" cuando es el momento adecuado para empujar y luego "empuja". Y debe recordar que el período de oscilación del columpio no era algo que pudiera establecer arbitrariamente, sino que dependía de las características físicas del columpio, como la longitud de las cuerdas y el peso de la persona que se sienta sobre él (en términos eléctricos estos son los valores de C y L).
Por supuesto, hay un poco de simplificación en mi analogía, pero debería dar una manera más intuitiva de ver el funcionamiento del circuito como lo explica @Olin.
Solo por mencionar un poco de simplificación excesiva: en el oscilador LC, el transistor no "empuja" de vez en cuando, ya que la analogía del swing podría llevarlo a pensar, pero "empuja continuamente" ya que el circuito se comporta de manera lineal (en al menos también lo hacen los osciladores LC más comunes).