Interpretación de la función transformada de Laplace y Laplace vs Fourier

La transformada de Laplace tiene algunas propiedades interesantes que ayudan a comprender mejor el comportamiento de los sistemas lineales.

Una propiedad muy interesante es que la transformada de Laplace evaluada a lo largo del eje jw es equivalente a la transformada de Fourier, que es menos abstracta y más fácil de entender. Por supuesto, esto nos hace volver a preguntarnos por qué no usamos la transformada de Fourier en primer lugar.

La respuesta es bastante simple. A menudo tenemos que analizar y trabajar con sistemas que son inestables o en los que queremos determinar si son estables o no. En tales casos, la transformación de Fourier falla (= no existe). Esta es la razón por la que se introdujo la transformada de Laplace. Incluye un término adicional que ayuda a la integral a converger y, por lo tanto, la transformada de Laplace se puede aplicar a una gama más amplia de problemas y aplicaciones.

¿Cuáles son las transformadas de Fourier para las funciones paso y rampa ?  Como bien señalado por el Prof. C.P. Quevedo: " La idea de decir que tales funciones son periódicas, con un período infinito, ya no se aplica (la función nunca vuelve a cero y no tiene la oportunidad de repetir, ni en el infinito ". Esto es donde ingresa la transformada de Laplace. Al introducir un término real \ $ \ sigma \ $ in \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $, es posible hacer que la "Transformada de Fourier" sea integral (ahora una Transformada de Laplace) para converge.

$$ F (s) = \ int _ {^ {^ 0 {-}}} ^ {\ infty} f (t) e ^ {^ {- st}} dt $$

De hecho, el objetivo principal de la transformada de Laplace es convertir una ecuación diferencial en una ecuación algebraica (como logaritmos). Luego, para operar en el dominio complejo, expanda el resultado con fracciones parciales para regresar al dominio de tiempo usando (normalmente) tablas de transformador; No solo a una entrada de señal sinusoidal. Además, debe recordarse que la respuesta de frecuencia (sinusoidal) es solo una de las aplicaciones de la función de transferencia.

Serie de Fourier : una señal de tiempo periódica se ve como una suma infinita de sinusoides (frecuencias discretas, armónicos).

Transformada de Fourier : una señal de tiempo no necesariamente "periódica" se ve como una suma infinita de sinusoides escalados infinitesimales (frecuencias continuas). Suma - > Integral.

Transformada de Laplace : una señal de tiempo no necesariamente "periódica" se ve como una suma infinita de sinusoides en escala exponencial infinitesimal (frecuencias continuas).

ADICION: \ $ \ sigma \ $ entra en juego cuando, cuando el concepto de frecuencia se generaliza a "frecuencia compleja". Cuando escribes \ $ Ae ^ {kt} \ $, el exponente debe ser adimensional; de modo que \ $ k \ $ debe ser \ $ {segundo} ^ {- 1} \ $. Tenga en cuenta la similitud con "Hertz", es decir, es un tipo de frecuencia. Por ejemplo, en \ $ Ae ^ {2t} \ $, \ $ 2 \ $ es la frecuencia (eventos por segundo) con la cual \ $ A \ $ se multiplicará por \ $ e \ $.   La unidad de esta "frecuencia" es Neper / segundo. Por lo tanto, $$ s [Neper complejo / segundo] = \ sigma [Neper / segundo] + j \ omega [radianes / segundo] $$ Ahora, una función exponencial tiene una frecuencia, aunque difiere del concepto tradicional. En la Transformada de Laplace, el \ $ \ sigma \ $ es un valor apropiado (pero no solo) para que la integral converja.

Por lo general, uso el dominio de Fourier para analizar una señal y sus componentes de frecuencia. En el dominio de Fourier puede hacer trucos para manipular la señal (como multiplicar por una función de paso para hacer un LP o un filtro de HP o BP). Aunque la última vez que me enfrenté a esto, simplemente hice la convolución de la señal en contra de una función sinc (más fácil de escribir en un programa y más rápido).

El dominio de Laplace se usa más para el análisis de sistemas y la teoría de control. Normalmente, comenzará con la versión transformada - > como un condensador es Z = 1 / (sC). Y una vez que haya descubierto la función de transferencia de todo su sistema, puede ver cómo responde a las entradas (a menudo hará un barrido de frecuencia o un gráfico de nyquist).

Estos conceptos no son mutuamente excluyentes. Creo que Fourier es un caso específico del caso Laplace más generalizado (corríjame si me equivoco o elaboro según sea necesario porque realmente no recuerdo este punto).