Uso del principio de superposición para el amplificador inversor

Normalmente, me precipitaría con la ecuación del divisor de voltaje obvio. Pero voy a suponer, porque usted hace referencia a él, que quiere que cada fuente de voltaje se active de una en una, mientras que todas las demás fuentes de voltaje están "en corto" Es un trabajo más ocupado. Oh, bien.

Solo tiene dos fuentes de voltaje, \ $ V_ \ text {IN} \ $ y \ $ V_ \ text {OUT} \ $. Así que esto no es demasiado trabajo. Con \ $ V_ \ text {IN} \ $ activo y \ $ V_ \ text {OUT} = 0 \: \ text {V} \ $. Hay un \ $ \ frac {V_ \ text {IN}} {R_i + R_f} \ $ actual. Con \ $ V_ \ text {OUT} \ $ activo y \ $ V_ \ text {IN} = 0 \: \ text {V} \ $. Hay una corriente en la dirección opuesta, \ $ \ frac {V_ \ text {OUT}} {R_i + R_f} \ $. La suma de estas dos corrientes superpuestas es entonces \ $ \ frac {V_ \ text {IN}} {R_i + R_f} - \ frac {V_ \ text {OUT}} {R_i + R_f} \ $. Para encontrar el voltaje en el terminal inversor, comenzamos con \ $ V_ \ text {OUT} \ $ y agregamos la caída de voltaje en \ $ R_f \ $, por lo que encontramos que:

$$ \ begin {align *} V _- & = V_ \ text {OUT} + R_f \ cdot \ left (\ frac {V_ \ text {IN}} {R_i + R_f} - \ frac {V_ \ text {OUT}} {R_i + R_f} \ Correcto)\\\\ & = V_ \ text {OUT} + R_f \ cdot \ frac {V_ \ text {IN} -V_ \ text {OUT}} {R_i + R_f} \\\\ & = \ frac {V_ \ text {OUT} \: R_i + V_ \ text {OUT} \: R_f + V_ \ text {IN} \: R_f-V_ \ text {OUT} \: R_f} {R_i + R_f } \\\\ & = \ frac {V_ \ text {OUT} \: R_i + V_ \ text {IN} \: R_f} {R_i + R_f} \ label {eq1} \ tag {1} \ end {align *} $$

Pero usted sabe, dado que el terminal no inversor está conectado a tierra, \ $ V_ \ text {OUT} = - G \ cdot V _- \ $. Entonces:

$$ \ begin {align *} V _- & = \ frac {V_ \ text {OUT} \: R_i + V_ \ text {IN} \: R_f} {R_i + R_f} \\\\ & = \ frac {-G \: V _- \: R_i + V_ \ text {IN} \: R_f} {R_i + R_f} \\\\ & \ por lo tanto \\\\ V _- & = V_ \ text {IN} \ frac {R_f} {R_f + R_i \ left (G + 1 \ right)} = V_ \ text {IN} \ frac {1} {1+ \ frac {R_i} {R_f} \ left (G + 1 \ right)} \ end {align *} $$

Entonces,

$$ \ begin {align *} V_ \ text {OUT} & = - G \ cdot V _- = - G \ cdot V_ \ text {IN} \ frac {R_f} {R_f + R_i \ left (G + 1 \ right)} \\\\ & amp ;\por lo tanto\\\\ \ frac {V_ \ text {OUT}} {V_ \ text {IN}} & = - G \ frac {R_f} {R_f + R_i \ left (G + 1 \ right)} \\\\ & = \ frac {-R_f} {\ frac {R_f} {G} + R_i \ frac {G + 1} {G}} = \ frac {-R_f} {\ frac {R_f + R_i} {G} + Rhode Island} \ end {align *} $$

Como \ $ G \ a \ infty \ $ entonces \ $ \ frac {V_ \ text {OUT}} {V_ \ text {IN}} = \ frac {-R_f} {R_i} \ $.

Aunque no estoy seguro de si eso es lo que querías.

Nodal, hecho a mi manera

Supongo que te preocupas por mantener las señales correctas. También me preocupo por eso, también. No me gusta, con algo de vigor, la forma en que normalmente se enseña el análisis nodal, en el que debe realizar un seguimiento constante (y reforzarlo mentalmente continuamente) de lo que se resta de qué. Así que aquí está el enfoque nodal my que lo hace mucho más fácil (para mí) y nunca me preocupo por las señales.

Configuro las ecuaciones nodales de manera que las corrientes que fluyen están a la izquierda y las que fluyen están en el derecho. Tenga en cuenta que hay no signos menos en cualquier lugar.

Imaginándome como parado en medio del nodo \ $ V _- \ $:

$$ \ begin {align *} \ frac {V _-} {R_i} + \ frac {V _-} {R_f} & = \ frac {V_ \ text {IN}} {R_i} + \ frac {V_ \ text {OUT}} {R_f} \ \\\ V _- \ left (\ frac {1} {R_i} + \ frac {1} {R_f} \ right) & = \ frac {V_ \ text {IN}} {R_i} + \ frac {V_ \ text {OUT }} {R_f} \\\\ V _- \ left (\ frac {1} {R_i} + \ frac {1} {R_f} \ right) \ frac {R_i \: R_f} {1} & = \ left (\ frac {V_ \ text {IN }} {R_i} + \ frac {V_ \ text {OUT}} {R_f} \ right) \ frac {R_i \: R_f} {1} \\\\ V _- \ cdot \ left (R_f + R_i \ right) & = \ left (V_ \ text {IN} \: R_f + V_ \ text {OUT} \: R_i \ right) \\\\ V _- & = \ frac {V_ \ text {OUT} \: R_i + V_ \ text {IN} \: R_f} {R_i + R_f} \ label {eq2} \ tag {2} \ end {align *} $$

Puedes ver que eq. \ $ \ ref {eq1} \ $ coincide con eq. \ $ \ ref {eq2} \ $.

Es un lot más fácil, creo, para manejar las señales de manera constante y perfecta, una y otra vez, de esta manera. Sitúese mentalmente en el centro de cada nodo y simplemente coloque todas las corrientes de salida a la izquierda; todas las corrientes de entrada a la derecha; Y el resto solo sigue trivialmente. Aprendí esta técnica al observar el código fuente de un programa Spice y ver cómo manejaba la configuración de la ecuación. Tenía mucho sentido para mí y nunca he vuelto a la forma de libro aprendido , que ahora considero diseñado para el fracaso.

(Ahora imagine que tenía que incluir una impedancia de entrada para el opamp. Fácil. Llamémosla impedancia de entrada, \ $ R_ \ text {in} \ $. En el lado izquierdo, simplemente agregaría \ $ \ frac {V _-} {R_ \ text {in}} \ $. En el lado derecho, agregaría \ $ \ frac {V _ +} {R_ \ text {in}} \ $. Eso es todo. El proceso es Trivial de seguir. Casi no puedes desordenar.)

Aplicar el principio de superposición es el método más simple para encontrar la ganancia de circuito cerrado del circuito inversor. Mientras el opamp funcione dentro de su región lineal, podemos establecer el voltaje resultante Vn entre la conexión a tierra y el terminal inversor Vn = 0 (en realidad es tan pequeño como algunos µVolts).

Superposición:

(1) Vout = 0: Vn1 = Vi * Rf / (Ri + Rf)

(2) Vi = 0: Vn2 = Vout * Ri / (Rf + Ri)

(3) Configurando Vn = Vn1 + Vn2 = 0 llegamos a Vout/Vi=-Rf/Ri

EDIT : finito Aol.

Para Aol finito tenemos Vn=Vn1+Vn2=-Vout/Aol

Esta expresión lleva a Vout/Vin=-Rf/[Ri+(Ri+Rf)/Aol◆

Para Aol infinite esta expresión se reduce nuevamente a Vout/Vi=-Rf/Ri

Si entiendo su pregunta correctamente, el objetivo principal que tiene es mostrar cómo el amplificador operacional tiene una función de transferencia de \ $ A (s) = -R_2 / R_1 \ $. Si estamos realizando el análisis de amplificador operacional ideal, lo que parece que estás empezando a hacer, entonces hay 2 reglas "doradas" (Vamos a usarlas para obtener la función de transferencia y luego volveremos a explicar por qué son el camino son):

1. No fluye corriente a través de los terminales de entrada del opamp.
2. El voltaje en los nodos del terminal de entrada es el mismo (solo en un circuito cerrado).

Como referencia, aquí hay una figura de un amplificador operacional ideal, de Sedra y Smith.

Conestasdosreglaspodemoscomenzaraanalizarelcircuito.Loprimeroquemegustahacerestratardeenumerartodaslascantidadesqueconozco.Enestecaso,dadoqueelterminalnoinversorestáconectadoatierra,segúnlaregla2,tenemosqueelvoltajeenelnodoterminalinversores0V.Desdeaquípodemosrealizarunanálisisnodalparaencontrar\$A(s)=V_{out}(s)/V_{in}(s)\$.RealizacióndeunKCLenelnododelterminalinversor(yobservandoenlaregla1quenofluyecorrientehaciaelterminaldeentradainversor):$$\frac{V_{in}(s)-0}{R_1}+\frac{V_{out}(s)-0}{R_2}=0$$Deaquíunpocodeálgebradaelresultado.

Ahora,volviendoaporquélasreglasdeorosonporquéson:enrealidadsonunaconsecuenciadevariassuposiciones"ideales" que hacemos sobre el amplificador operacional. La mayoría de los libros de texto enumerarán los mismos supuestos que hace wikipedia, pero los que se relacionan con la regla 2 son principalmente ganancia infinita de bucle abierto .

Considere el amplificador operacional de la figura de arriba. El amplificador operacional es básicamente un amplificador de diferencia, toma la diferencia de voltaje entre los dos terminales y la multiplica por su ganancia \ $ A \ $. En un bucle cerrado, si el amplificador operacional está funcionando, es decir, está proporcionando una salida finita, entonces por su TF existe la relación \ $ A (v_2-v_1) = v_o \ $. Entonces, $$ v_2-v_1 = \ frac {v_0} {A} $$ Si \ $ A \ $ es infinito, según nuestra suposición ideal, eso significa \ $ v_2-v_1 = 0 \ $ y, por lo tanto, se establece la regla 2 .