¿Intuición para las frecuencias resonantes, naturales y oscilatorias de los circuitos RLC?

Hay bastantes diferencias sutiles entre los filtros de paso de banda y bajo / alto, pero, para un filtro de paso de banda LCR simple, las frecuencias resonantes amortiguadas y no amortiguadas son las mismas numérica y formalmente, \ $ \ dfrac {1 } {2 \ pi \ sqrt {LC}} \ $.

Esta es también la frecuencia de resonancia natural (no amortiguada) para filtros de paso alto / bajo.

Cuando se agrega amortiguación, la frecuencia natural permanece igual pero puede (por ejemplo, para un filtro de paso bajo) gira en sentido antihorario en el plano del polo cero y esto deja (en el eje jw) lo que es conocida como la frecuencia de resonancia amortiguada, \ $ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1 - \ zeta ^ 2} \ $. Vea la parte inferior del primer conjunto de imágenes a continuación (básicamente son pitágoras y triángulos rectángulos).

Y para los filtros de paso bajo, existe la frecuencia con la que se produce el pico y es ligeramente diferente a la frecuencia de resonancia amortiguada, \ $ \ omega_p = \ omega_n \ sqrt {1 - 2 \ zeta ^ 2} \ $.

La amplitud a la que llega este pico es \ $ \ dfrac {1} {2 \ zeta \ sqrt {1- \ zeta ^ 2}} \ $

Lapruebadeestastresfrecuenciasdiferentesparaunfiltrodepasobajoesrelativamentesencillaperounpocolarga.Acontinuaciónsemuestraunextractodeundocumentodediseñoparaunfiltrodepasobajodesegundoorden,enelquesemuestraqueunfactorQvariablealejólafrecuencia"máxima" de la frecuencia natural (100 Hz en este ejemplo) pero, como siempre, Q es la valor del pico a la frecuencia de resonancia natural: -

Quizásunavistadecercaseamásemocionante:-

Para una red de dos terminales con impedancia \ $ Z (\ omega) \ $ (un número complejo), \ $ \ omega_r \ $ es una frecuencia de resonancia si \ $ \ operatorname {Im} (Z (\ omega_r) ) = 0 \ $. En otras palabras, a una frecuencia de resonancia, la impedancia de la red de dos terminales es puramente activa.

Esta es la definición que se puede aplicar a cualquier red de dos terminales.

Una excepción: en el caso de una LC paralela ideal, \ $ Z (\ omega) \ $ va al infinito si \ $ w \ to \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $. La definición de frecuencia de resonancia se puede ampliar para incluir dicho caso, es decir, \ $ \ omega_r \ $ es una frecuencia de resonancia si \ $ \ lim _ {\ omega \ to \ omega_r} | Z (\ omega) | = \ infty \ $. Es puramente teórico, ya que cualquier red del mundo real contiene resistencia.

Resolviendo \ $ \ operatorname {Im} (Z (\ omega_r)) = 0 \ $ como la ecuación con desconocido \ $ \ omega_r \ $, puede obtener una frecuencia resonante (o frecuencias) para cualquier red de dos terminales . En algunos casos es más conveniente resolver \ $ \ operatorname {Im} (Y (\ omega_r)) = 0 \ $, donde la admisión \ $ Y \ equiv 1 / Z \ $.

Considera el siguiente circuito:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

La admisión en función de \ $ \ omega \ $ es: $$ Y (\ omega) = j \ omega C + \ frac {1} {R + j \ omega L} \\ = j \ omega C + \ frac {R - j \ omega L} {R ^ 2 + \ omega ^ 2L ^ 2} \\ = \ frac {R} {R ^ 2 + \ omega ^ 2L ^ 2} + j \ left (\ omega C - \ frac {\ omega L} {R ^ 2 + \ omega ^ 2L ^ 2} \ right) $ $

Como puedes ver, $$ \ operatorname {Im} (Y (\ omega)) = \ omega C - \ frac {\ omega L} {R ^ 2 + \ omega ^ 2L ^ 2} $$

Por lo tanto, la ecuación para la "frecuencia de resonancia amortiguada" \ $ \ omega_d \ $ será $$ \ omega_d C = \ frac {\ omega_d L} {R ^ 2 + \ omega_d ^ 2L ^ 2} $$

La solución es $$ \ omega_d = \ sqrt {\ frac {1} {LC} - \ frac {R ^ 2} {L ^ 2}} $$ Definir la frecuencia natural (no amortiguada) como $$ \ omega_0 \ equiv \ frac {1} {\ sqrt {LC}} $$ Entonces podemos reescribir la solución. $$ \ omega_d = \ sqrt {\ omega_0 ^ 2 - \ frac {R ^ 2} {L ^ 2}} $$

Aquí es donde aparece la llamada frecuencia de resonancia natural (o no amortiguada). Como puede ver, si \ $ R = 0 \ $, entonces \ $ \ omega_d = \ omega_0 \ $.

Una explicación de un factor de calidad probablemente merezca una pregunta aparte. En pocas palabras, la fórmula para \ $ Q \ $ depende de una red.

\ $ \ omega_0 = \ sqrt {\ frac {1} {LC}} \ $
es la frecuencia de resonancia para el circuito amortiguado y no amortiguado. También es la frecuencia natural para el circuito no amortiguado.

\ $ \ omega_d = \ sqrt {\ omega_0 ^ 2 - \ frac {R} {2L} ^ 2} \ $
es la frecuencia natural amortiguada de la caja con poca luz para el circuito de la serie RLC.

\ $ s = - \ frac {R} {2L} \ pm \ sqrt {\ frac {R} {2L} ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} \ $
son las raíces de la ecuación característica para la ecuación diferencial del circuito RLC de la serie donde se supone que las soluciones tienen la forma \ $ e ^ {st} \ $. (Tenga en cuenta que el primer término es negativo, a diferencia de lo que escribió en su pregunta).

El valor del término de raíz cuadrada define los 3 casos posibles. Cuando \ $ \ frac {R} {2L} ^ 2 - \ omega_0 ^ 2 \ $ es:
Positivo: la raíz cuadrada es real, este es el caso sobredimensionado.
Cero: la raíz cuadrada es cero, este es el caso crítico. Negativo: el sqaure-root es imaginario, este es el caso que no está en su totalidad.

Considere solo el caso que no aparece en la lista de abajo en adelante.

Es conveniente invertir los dos términos dentro de la raíz cuadrada de manera que el resultado restado sea positivo, y definir el número real resultante como la frecuencia natural no marcada:
\ $ \ omega_d = \ sqrt {\ omega_0 ^ 2 - \ frac {R} {2L} ^ 2} \ $
y las raíces pueden ser reescritas para ser:
\ $ s = - \ frac {R} {2L} \ pm j \ omega_d \ $

Ahora las soluciones de respuesta natural a la ecuación diferencial se pueden escribir como:
\ $ A_1 e ^ {(- \ frac {R} {2L} + j \ omega_d) t} + A_2 e ^ {(- \ frac {R} {2L} - j \ omega_d) t} \ $
(\ $ A_1 \ $ \ $ A_2 \ $ son constantes).

La \ $ e ^ {- \ frac {R} {2L} t} \ $ es la caída exponencial.
Los \ $ e ^ {\ pm j \ omega_d t} \ $ son la oscilación con la frecuencia de \ $ \ omega_d \ $.

Por lo tanto, el circuito RLC con poca luz oscila "naturalmente", como parte de la respuesta natural (transitoria), a una frecuencia \ $ \ omega_d \ $ que es diferente de la frecuencia resonante \ $ \ omega_0 \ $.

Una forma es ver que la frecuencia de resonancia \ $ \ omega_0 \ $ se considera que es la misma para observar la impedancia. El circuito RLC en serie es una resistencia R agregada al circuito LC, la impedancia simplemente se incrementa por un valor de frecuencia independiente R sobre el de un circuito LC. Por lo tanto, la frecuencia de resonancia, que coincide con que la impedancia es la mínima, permanece sin cambios en \ $ \ sqrt {\ frac {1} {LC}} \ $ independientemente de la R. adicional