La siguiente captura de pantalla es de esta página web . El objetivo es evaluar (o ver si podemos evaluar) la función de transferencia de un sistema utilizando la función de pasos como entrada. -Por favor, consulte la captura de pantalla para la línea de razonamiento utilizada en este ejemplo-.
La conclusión del autor es incorrecta. De hecho, es posible utilizar los datos de respuesta a pasos para medir la función de transferencia de un sistema, es un poco más complicado. Esto se hace todo el tiempo al evaluar la reflectometría en el dominio del tiempo y las mediciones de transmisión en el dominio del tiempo.
El problema principal es que el autor define un paso como "una secuencia que consiste enteramente en 1", que no es una definición universal. Una función de paso debe ser 0 para t < 0 y 1 para t > 0. Por alguna razón, el autor de su página web parece pensar que t = 0 es el principio del tiempo y no hay forma de que podamos obtener datos para t < 0, lo que generalmente no es cierto.
Sin embargo, si usa un conjunto de datos en el que comienza en algunos t 0 < 0, tendrá que tener en cuenta el factor de demora cuando realice el análisis de los datos para calcular la función de transferencia (si le interesa obtener la fase correcta).
Además, deberá comprender cómo aplicar una función de ventana a sus datos antes de realizar la transformación numérica, ya que la DFT común (también conocida como FFT) asume una señal periódica. Esto significa que piensa que la muestra después de su muestra final será una repetición de su primera muestra, y así sucesivamente. Esto a menudo hará que haya un segundo paso artificial (con un contenido de frecuencia muy alta) en el límite entre la última y la primera muestra. La aplicación de una función de ventana (por ejemplo, una ventana de Hamming) minimizará el efecto de esta discontinuidad, pero también introducirá algunos "borrones" en la función de transferencia de dominio de frecuencia calculada. Consulte un libro de texto sobre DSP para obtener más detalles sobre este problema.
Finalmente, como se alude en la página web, se encontrará con un problema en las frecuencias altas. Dado que el contenido de potencia de la señal de estímulo se está reduciendo como 1 / f, finalmente, la señal de respuesta estará por debajo del nivel de ruido del sistema de medición, y la medición no será significativa. Dicho de otra manera, cuando compensa la disminución de 1 / f del estímulo al calcular la función de transferencia, aumentará el ruido a altas frecuencias.
¿Por qué no podemos sustituir s por jw en el caso de una función de paso (1 / s)?
Es es cierto que la región de convergencia (ROC) para la transformada de Laplace del paso unitario es \ $ \ Re (s) \ gt0 \ $.
Por lo tanto, establecer \ $ s = 0 + j \ omega \ $ y llamar a la transformación de Fourier no es justificable incluso si "funciona" en algunos casos.
Pero, en el sitio web, el contexto cambia repentinamente de la transformada de Laplace de una señal aperiódica a la DFT. ¡Eso es un gran abismo para saltar!
El autor escribe:
Sin embargo, si intentas FFT un paso
Whoa! ¿Por qué demonios intentarías hacer eso? Recuerde que la DFT es esencialmente la versión de tiempo discreto de la serie de Fourier que es para las funciones de periódico .
Uno no debería intentar encontrar el DFT de \ $ u [n] \ $ que uno debería intentar encontrar la serie de Fourier para \ $ u (t) \ $.
Dado que tanto \ $ u [n] \ $ como \ $ u (t) \ $ son aperiodic , las transformaciones apropiadas son la transformada de DTFT y de Fourier respectivamente.
Recuerde, al encontrar la serie de Fourier, los coeficientes de Fourier se encuentran al integrarse durante un período . ¿Cuál es el período de una función de paso de unidad? ¿Es sorprendente que la aplicación de una transformación para funciones periódicas dé resultados extraños cuando se aplica descuidadamente a una función aperiódica?
Sin embargo, encontrará que existe la DTFT de \ $ u [n] \ $ (en el sentido de funciones generalizadas) y es:
$$ X (\ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- i \ omega}} + \ pi \ cdot \ delta (\ omega) $$
Finalmente, la pregunta del título:
Por qué no podemos utilizar la función de pasos para identificar la función de transferencia del sistema
Podemos. Sin embargo, el contexto es crucial y el contexto del sitio web vinculado son métodos numéricos con la FFT.
En el dominio de tiempo discreto, asumiendo que las condiciones iniciales son cero y una entrada que comienza con una y es una secuencia interminable de 1 después, la secuencia de salida interminable asociada es la respuesta escalonada del sistema que ll llamar \ $ s [n] \ $.
La DTFT de esta secuencia de salida sin fin sería una función continua de frecuencia \ $ S (\ omega) \ $, \ $ - \ pi \ lt \ omega \ le \ pi \ $, y sería la respuesta al paso en el dominio de frecuencia.
Por lo tanto, la función de transferencia es:
$$ H (\ omega) = \ dfrac {S (\ omega)} {X (\ omega)} $$
Ahora, si desea hacer un FFT de la secuencia de salida, usará solo una parte, la parte de \ $ s [0] \ $ a \ $ s [N-1] \ $ para algunas \ $ N \ $.
Esencialmente, esto es equivalente a descartar el resto de la secuencia para \ $ n \ ge N \ $ y hacer que la secuencia de salida sea periódica con el período \ $ N \ $.
¿Por qué? Si tomamos los primeros números \ $ N \ $ en la secuencia y "bloqueamos" periódicamente esta copia antes y después para formar una secuencia periódica, la DTFT de esta secuencia periódica se convertirá en un tren de impulsos ponderados con los pesos dados por la FFT ( hasta alguna constante de normalización).
Pero, para un sistema estable, la secuencia de salida es periódica solo si la secuencia de entrada es periódica y \ $ u [n] \ $ no es periódica .
Por lo tanto, una FFT de alguna parte de una secuencia de salida no puede representar la respuesta escalonada de un sistema .
Sin embargo, hay "trucos" que The Photon menciona en su respuesta, pero estos están más allá del alcance de esta respuesta. Siéntase libre de hacer una pregunta de seguimiento, pero podría ser mejor preguntar en el sitio hermano de DSP.
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