Resuelva un circuito con el análisis nodal (1)

Parece que es difícil mantener las instrucciones consistentes. Me parece que siempre es útil mantener la siguiente foto en mi mente:

y de esto, si la unidad es una resistencia: $$ i = \ frac {v _ {+} - v _ {-}} {R}. $$

Decida si desea utilizar la corriente dentro o fuera de cada nodo. Por lo general, prefiero fuera de, lo que significa que el voltaje en el nodo es siempre el primer término (\ $ v _ {+} \ $). Esto da: $$ \ frac {\ color {rojo} {v_1} -40} {1} + \ frac {\ color {rojo} {v_1} -v_2} {2} + 5 = 0, \\ \ frac {\ color {verde} {v_2} -v_1} {2} + \ frac {\ color {verde} {v_2} -0} {4} + \ frac {\ color {verde} {v_2} - (- 20)} {8} -5 = 0, $$ Esto se resuelve fácilmente. Podría usar una calculadora o un programa matemático, o podría hacerlo a mano, por ejemplo, multiplicando la primera ecuación por 2 y la segunda por 8: $$ \ begin {eqnarray} 2v_1-80 + v_1-v2 + 10 = 0 \\ 4v_2-4v_1 + 2v_2 + v_2 + 20-40 = 0 \ end {eqnarray} $$ asi que $$ \ begin {eqnarray} 3v_1 - v_2 - 70 & = & 0, \ qquad (1) \\ -4v_1 + 7v_2 - 20 & = & 0, \ qquad (2) \ end {eqnarray} $$ o $$ \ begin {pmatrix} 3 & -1 \\ - 4 & 7 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v_1 \\ v_1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 70 \\ 20 \ end {pmatrix}, $$ teniendo en cuenta que el determinante es \ $ 3 \ cdot7 - (- 1) (- 4) = 17 \ $, $$ \ begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 3 & -1 \\ - 4 & 7 \ end {pmatrix} ^ {- 1} \ begin {pmatrix} 70 \\ 20 \ end {pmatrix} = \ frac {1} {17} \ begin {pmatrix} 7 & 1 \\ 4 & 3 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 70 \\ 20 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix } {30 \\ 20} \ end {pmatrix}. $$ Entonces, \ $ v_o = v_2 = 20 V \ $.

No creo que tu solución 27.27 V sea correcta. Después de corregir tus ecuaciones, obtengo:

Nodo saliente actual 1

(V1 - 40)/1 + (V1 - Vo)/2 + 5 = 0
2V1 - 80 + V1 - Vo + 10 = 0
3V1 - Vo = 70  
Vo = 3V1 - 70   ...... (1)

Nodo de entrada actual 2

(V1 - Vo)/2 + 5 + (-20 - Vo)/8 + (-Vo)/4 = 0
4V1 - 4Vo + 40 - 20 - Vo - 2Vo = 0
4V1 - 7Vo = -20  ..... (2)

Sustituyendo (1) en (2)

4V1 - 7(3V1 - 70) = -20
4V1 - 21V1 + 490 = -20
17V1 = 510
V1 = 30 V

Sustituyendo V1 en (1)

V0 = 3(30) - 70 = 20 V

Aquí está la versión corregida de la "solución" original.

En el nodo 1 (V1): $$     V_ {1} - 40 + \ frac {(V_ {1} -V_ {o})} {2} + 5 = 0 $$ $$     2V_ {1} - 80 + V_ {1} - V_ {o} + 10 = 0 $$

$$     3V_ {1} - V_ {o} = 70 $$

En el nodo 2 (Vo):

$$     \ frac {(V_ {1} -V_ {o})} {2} + 5 - \ frac {(V_ {o} +20)} {8} - \ frac {V_ {o}} {4} = 0 $$ $$     4V_ {1} - 4V_ {o} + 40 - V_ {o} - 20 - 2V_ {o} = 0 $$ $$     4V_ {1} - 7V_ {o} = -20 $$ $$     V_ {o} = \ frac {(4V_ {1} + 20)} {7} $$

Entonces V1:

$$     3V_ {1} - \ frac {(4V_ {1} + 20)} {7} = 70 $$ $$     17V_ {1} = 510 V $$ $$     V_ {1} = 30 $$

Y Vo: $$     V_ {o} = \ frac {(4V_ {1} + 20)} {7} = \ frac {(4 \ times30 + 20)} {7} = 20 V $$

Esa es la respuesta.