¿Cuál es la definición más precisa de la ley de Ohm?

Probablemente, esta respuesta es inherentemente desagradable para la sensación de orden natural para algunos :-):

Una ley de la naturaleza es simplemente una declaración de los resultados observados en condiciones definidas.

La ley de ohmios es esencialmente una declaración de que la proporción de las dos variables V & Normalmente se observa que I se mantiene aproximadamente constante a medida que varían las variables.

Podría decirse que está diciendo lo contrario de lo que puede parecer, es decir, no tanto. "R es la relación entre ..." pero
es más "si la relación entre V & I es constante, llamamos a esta resistencia constante" y "esto se aproxima al comportamiento típico de una proporción significativa de productos del mundo real".

En cualquier momento dado, R ES la relación entre V y I. Si esta relación ha cambiado, entonces R ha cambiado. Por lo tanto, V / I nunca cambia para valores específicos de V & I con todas las demás condiciones se mantuvo constante, mientras que dV / dI típicamente cambia en el mundo real.

Entonces R = V / I es una declaración precisa
R = dV / dI suele ser una aproximación y
donde todo se derrumba, solo significa que la observación no se aplica en estas condiciones.

Eso es más lanudo de lo que me gustaría pero parece transmitir lo que estoy tratando de decir. Espero :-).

Si un elemento del circuito es Ohmic , entonces el voltaje a través y la corriente a través son proportional

$$ V \ propto I $$

y la constante de proporcionalidad es la resistencia \ $ R \ $

$$ V = R \ cdot I $$

Esta relación, la Ley de Ohm, es obviamente una relación lineal y, por lo tanto, la pendiente de la curva VI asociada es solo la constante de proporcionalidad \ $ R \ $

$$ \ frac {dV} {dI} = \ frac {V} {I} = R $$

Sin embargo, para un elemento de circuito no lineal , por ejemplo, \ $ V = R \ cdot (I + \ epsilon I ^ 3) \ $, el voltaje a través es no proporcional a la corriente a través y por lo tanto

$$ \ frac {V} {I} \ ne \ frac {dV} {dI} $$

Ahora podemos definir los términos resistencia estática y resistencia dinámica (o diferencial) :

$$ R_ {estática} = \ frac {V} {I} $$

$$ r_d = \ frac {dV} {dI} $$

La resistencia estática es útil para el análisis de CC, mientras que la resistencia dinámica es útil para el análisis de señal pequeña (donde linealizamos el elemento del circuito sobre el punto de operación de CC).

Para más información, consulte la sección del artículo de Wikipedia resistencia estática y diferencial .

Está ingresando al campo de superposición y análisis de señal pequeña con \ $ \ frac {dV} {dI} \ $. Simplifica un modelo complejo de tal manera que puede trabajar razonablemente preciso con él y con ecuaciones razonablemente simples.

Creo que lo importante que falta es que cuando usamos la variable \ $ V \ $ para el voltaje, ya estamos hablando de una diferencia de voltaje , no un valor absoluto. Se implica aquí que estamos hablando de la diferencia entre el voltaje en algún punto y el voltaje en tierra (0V por definición). Entonces, la ley de Ohm ya está en la forma

$$ R = \ frac {dV} {dI} $$

y las dos formas son equivalentes.

Si empiezas a hablar sobre cómo se comportan las resistencias reales o los elementos no lineales, debes dejar de hablar sobre la ley de Ohm. La ley de Ohm solo se aplica a las resistencias ideales.

Comience con \ $ v = ir \ $, y diferencie con respecto a \ $ i \ $.

$$ \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} i} = i \ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} i} + r \ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} i} = r + i \ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} i} $$

Si \ $ r \ $ es constante con respecto a \ $ i \ $, obtienes tu ecuación. Si no, necesita incluir el término extra. Calc es tu amigo!