¿Cuál es el significado de la forma estándar de las funciones de transferencia de primer y segundo orden?

  

¿Cuál es el significado físico de "primer" y "segundo orden"? ... ¿Cómo puedo saber si un sistema es de primer o segundo orden?

Un sistema de primer orden tiene un elemento de almacenamiento de energía y requiere solo una condición inicial para especificar la solución única a la ecuación diferencial que rige. Los circuitos RC y RL son sistemas de primer orden, ya que cada uno tiene un elemento de almacenamiento de energía, un condensador y un inductor, respectivamente.

Un sistema de segundo orden tiene dos elementos de almacenamiento de energía y requiere dos condiciones iniciales para especificar la solución única. Un circuito RLC es un sistema de segundo orden, ya que contiene un condensador y un inductor

  

¿De dónde vienen las ecuaciones (1) y (4)?

Considere el caso homogeneous para la ecuación de primer orden:

$$ \ tau \ frac {dy} {dt} + y = 0 $$

Como es bien sabido, la solución es de la forma

$$ y_c (t) = y_c (0) \ cdot e ^ {- \ frac {t} {\ tau}} $$

que otorga importancia física al parámetro \ $ \ tau \ $ - es la constante de tiempo asociado al sistema. Cuanto mayor sea la constante de tiempo \ $ \ tau \ $, más transitorios tardarán en descomponerse.

Para el sistema de segundo orden, la ecuación homogénea es

$$ \ tau ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dt ^ 2} + 2 \ tau \ zeta \ frac {dy} {dt} + y = 0 $$

Suponiendo que las soluciones son de la forma \ $ e ^ {st} \ $, la ecuación característica es así

$$ \ tau ^ 2s ^ 2 + 2 \ tau \ zeta s + 1 = 0 $$

que tiene dos soluciones

$$ s = \ frac {- \ zeta \ pm \ sqrt {\ zeta ^ 2 -1}} {\ tau} $$

lo que le da un significado físico a la constante de amortiguamiento \ $ \ zeta \ $ asociada a el sistema.

Las soluciones transitorias son, cuando \ $ \ zeta > 1 \ $ (sobrecargado), de la forma

$$ y_c (t) = Ae ^ {\ frac {- \ zeta + \ sqrt {\ zeta ^ 2 -1}} {\ tau} t} + Be ^ {\ frac {- \ zeta - \ sqrt {\ zeta ^ 2 -1}} {\ tau} t} $$

cuando \ $ \ zeta = 1 \ $ (amortiguado críticamente), las soluciones son de la forma

$$ y_c (t) = \ left (A + Bt \ right) e ^ {- \ frac {\ zeta} {\ tau} t} $$

y cuando \ $ \ zeta < 1 \ $ (underdamped), las soluciones son de la forma

$$ y_c (t) = e ^ {- \ frac {\ zeta} {\ tau} t} \ left (A \ cos \ left (t \ sqrt {1 - \ zeta ^ 2} \ right) + B \ sin \ left (t \ sqrt {1 - \ zeta ^ 2} \ right) \ right) $$

  

Cuando se le da un sistema de primer orden, ¿por qué a veces se da la ecuación (2),   ¿Y a veces la ecuación (3) como la función de transferencia para este sistema?

Las diferentes disciplinas tienen diferentes convenciones y formas estándar. La ecuación (2) me parece teoría de control estándar mientras que la ecuación (3) Parece que procesamiento de señales .

Las formas estándar evolucionan para adaptarse a las necesidades de una disciplina. Además, si una persona o grupo particularmente influyente desarrolla y usa una convención particular, esa convención a menudo se convierte en el estándar. Podría ser educativo leer detenidamente libros de texto y revistas antiguas para tener una idea de cómo evolucionan la notación y las formas estándar.

1. El orden de una función de transferencia está determinado por el orden más alto del denominador. Este orden da el número de polos y, por lo tanto, determina las características de reducción de la función de transferencia (magnitud), así como la cantidad de desplazamiento de fase para frecuencias crecientes.

2. El formulario estándar es muy importante porque permite encontrar parámetros característicos mediante inspección visual y / o cálculos simples: Orden del filtro, fórmula para frecuencia de polos, fórmula para polo-Q. Estos parámetros son las entradas de diseño para diseñar un filtro y se pueden encontrar para todas las respuestas clásicas en las tablas de filtros.

3. Se pueden usar ambas formas de las ecuaciones, por supuesto. Sin embargo, la última forma es más conveniente porque inmediatamente puede identificar la frecuencia del polo wn. Esta frecuencia característica está relacionada con la frecuencia de corte wc (que normalmente se proporciona) por un factor fijo que depende de la característica deseada (Ejemplo 1: segundo orden de Butterworth, wc = wn; ejemplo 2: segundo orden de Chebyshev, rizado de 0.5dB , wp = 1.2313 * wc).

EDIT : olvidé mencionar que el factor de calidad del polo (polo Q o Qp) está relacionado con el factor de amortiguamiento ζ (como se indica en sus fórmulas) por la relación: ζ = 1 / ( 2 * Qp).

Resumen: La última forma (Ec. 6) contiene las cantidades de paso bajo más importantes como parámetros (Ao, wp, Qp), que también se pueden medir (diagrama de Bode para la magnitud y la fase). En la práctica, esta forma se compara con la forma que se deriva directamente del circuito y, por lo tanto, es posible ver cómo todos los parámetros dependen de las partes particulares del circuito.