No puedo entender la fórmula general para el circuito eléctrico

Este es realmente un problema clásico en las instalaciones eléctricas, es decir, conocer el consumo de energía de varios dispositivos conectados a una línea eléctrica, ¿cuál es la caída de voltaje en el dispositivo más alejado? Normalmente se resuelve utilizando una aproximación, por lo que no da el valor exacto, sino más bien cercano (y pesimista).

Dibujaré el problema de una manera diferente, diagrama unipolar:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

(R1 + R2) representa la resistencia de los dos cables (L y N) en la primera sección, P1 es la potencia extraída por el primer dispositivo, etc.

Delta_V es la caída de voltaje en el último dispositivo.

La aproximación es que la caída de voltaje será pequeña y, por lo tanto, la corriente en cada dispositivo se puede aproximar por: $$ i_k = P_k / V $$ donde \ $ V \ $ es el voltaje nominal (su \ $ V_0 \ $ ). De hecho, la tensión será un poco más pequeña que esto, y por lo tanto la corriente real también. (Edición: esto merece una explicación: una bombilla de 100 W si se alimenta con menos voltaje que la nominal, consumirá menos corriente que la nominal. Si se tratara de una bombilla "inteligente", obtendría más corriente para que mantenga los 100 W, pero no es el caso en dispositivos pasivos normales).

Luego, la caída de voltaje al final de la línea viene dada por: $$ \ Delta V = (R_1 + R_2) · (i_1 + i_2 + i_3) + (R_3 + R_4) · (i_2 + i_3) + (R_5 + R_6) · i_3 $$

Esto se puede generalizar para tantos dispositivos como desee. La idea es que las corrientes de todos los dispositivos pasarán por la primera sección (por eso hay \ $ i_1 + i_2 + i_3 \ $ multiplicando la resistencia de la primera sección), en la segunda sección todos menos el primer dispositivo, etc.

El valor encontrado por esta fórmula es el peor de los casos. La caída real será más pequeña.

Si desea ir exacto, este procedimiento iterativo podría seguirse:

1. Calcule las caídas de voltaje en cada nodo y no solo el último (es fácil de entender cómo)

2. Calcule nuevamente las corrientes en cada dispositivo utilizando la información proporcionada por las caídas de voltaje encontradas en el paso anterior.

3. Vuelve al paso 1 y repite hasta que las corrientes y las caídas de voltaje converjan.

Esos pasos pueden escribirse en forma matricial y evaluarse a través de Matlab. ¡No sé si Mathematica o Maple también podrían encontrar una solución de forma cerrada!

He intentado este algoritmo con los siguientes valores. P1 = 200 W, P2 = 50 W y P3 = 100 W. Valores de resistencia R1 + R2 = 5 Ohms, R3 + R4 = 5 Ohms y R5 + R6 = 5 Ohms. El voltaje nominal es de 230 V. Esos son los resultados (cada columna es una iteración y cada fila es un nodo):

Puede ver que después de unas pocas iteraciones, los voltajes y las corrientes convergen, y la potencia extraída en cada nodo tiene el valor deseado.

¿Por qué estás asumiendo que \ $ P_3 \ $ es una resistencia? Todo lo que sabes es que está consumiendo poder. Lo que tiene aquí son dos incógnitas: la corriente en el bucle y el voltaje en \ $ P_3 \ $. Para resolver este problema, necesitará dos ecuaciones: una ecuación KVL para el bucle y una ecuación de potencia para \ $ P_3 \ $. Suponiendo que la corriente fluye en el sentido de las agujas del reloj:

$$ V_0 - IR_1 - V_ {P3} - IR_2 = 0 $$ $$ P_ {P3} = V_ {P3} I $$

Puede resolver esto directamente usando un sistema de álgebra computacional como el de una TI-89 o uno gratis en Wolfram Alpha , o puede usar la matriz Métodos, o puede utilizar la sustitución. La sustitución te da la ecuación que encontraste:

$$ V_0 - IR_1 - IR_2 - \ frac {P_ {P3}} {I} = 0 $$

Hay dos soluciones posibles ya que la segunda ecuación es un producto de dos variables. Sin embargo, no obtienes una solución negativa. Probé varios números inventados para \ $ V_0 \ $ y \ $ P_3 \ $ y siempre obtuve soluciones positivas. Dado que la ecuación de potencia tiene la forma \ $ y = \ frac {1} {x} \ $, creo que ambas soluciones siempre serán positivas. (Esto es más obvio en el resultado del gráfico Wolfram Alpha). Físicamente, esto significa que puede obedecer KVL y la conservación de energía con una solución de alto voltaje / baja corriente y una de bajo voltaje / alta corriente. Si elige exactamente los valores correctos de \ $ V_0 \ $, \ $ R_1 \ $, \ $ R_2 \ $ y \ $ P_3 \ $, puede obtener una sola solución, pero eso es una coincidencia, no un método.

Necesita una restricción adicional para llegar a una solución. No veo uno físicamente necesario, aunque podría faltar algo. Una opción sería decir que \ $ P_3 \ $ debe ser mayor que la potencia consumida por las resistencias, es decir, que este circuito es eficiente . Su descripción del problema sugiere que podría haber un voltaje mínimo requerido, que también podría funcionar.

Una vez que haya resuelto el problema para un solo disipador de energía, puede pasar a dos. Ahora puedes usar el análisis de malla, que da cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas. Como ha notado, esto es demasiado complicado para una solución general. Esto parece ser un problema de red de dos puertos, pero no conozco suficiente teoría de redes de dos puertos para ayudarlo allí.

Puede obtener un límite superior aproximado mirando el límite actual máximo:

$$ \ sum {P_n} < \ frac {V_0} {R_1 + R_2} $$

¿Seguro que nos has dado toda la información? Parece que falta algo importante.

No estoy diciendo que pueda darte una respuesta, pero puedo simplificar un poco las cosas: -

Para comenzar, llame a las dos series de resistencias de valor fijo solo una resistencia, R. Esto reduce la complejidad aparente sin pérdida de precisión. Llame a la resistencia de la fuente de energía constante Rp

\ $ I = \ dfrac {V_I} {R + R_P} \ $ Luego introduzca el poder disipado, k = \ $ \ dfrac {V_O ^ 2} {R_P} \ $ o \ $ R_P = \ dfrac {V_O ^ 2} {k} \ $.

Vuelve a conectar la ecuación y multiplica la parte superior e inferior por k para obtener \ $ I = \ dfrac {k \ cdot V_I} {k \ cdot R + V_O ^ 2} \ $

Observando que \ $ k = V_O \ cdot I \ $ y reorganizando: -

\ $ V_O \ cdot I ^ 2 \ cdot R + I \ cdot V_O ^ 2 = V_I \ cdot V_O \ cdot I \ $ luego se divide a través de I para obtener \ $ V_O \ cdot I \ cdot R + V_O ^ 2 = V_I \ cdot V_O \ $

Reemplaza a k para obtener: -

\ $ k \ cdot R + V_O ^ 2 = V_I \ cdot V_O \ $ y luego resuelva para Vo: -

\ $ V_O = \ dfrac {V_I \ pm \ sqrt {V_I ^ 2-4 \ cdot k \ cdot R}} {2} \ $

Una comprobación rápida de cordura para cuando k es cero lleva a: -

\ $ V_O = \ dfrac {V_I \ pm \ sqrt {V_I ^ 2}} {2} \ $ y esto me parece correcto (Vo = Vi).

Creo que esta es una fórmula más fácil de seguir adelante (¡espero que tenga los cálculos correctos!)

A continuación, tengo la sensación de que el uso de matrices ayudará a las redes de 2 puertos. Todavía se va a volver un poco loco después de algunos términos, así que espero que alguien pueda encontrar un truco.

Me pregunto si la fórmula para la proporción áurea podría funcionar.

Hay una fórmula general que se "conecta" a la anterior, pero debido a la forma en que se configura su circuito, no se conecta de forma "agradable".

En primer lugar, realmente no entiendo lo que intenta decir con la fórmula para R3 que proporcionó. También es válido para las otras resistencias en su esquema, porque:

R = U / I
and
P = U * I or U = P / I
together
R = P / I²

También estás diciendo que "produce vatios", lo cual es un poco extraño. Lo que creo que tienes es algo así como una bombilla, con una cierta potencia nominal en vatios. Esa clasificación no significa que "produce" tantos vatios, simplemente indica cuánta energía consumirá este dispositivo. Los dispositivos necesitan un cierto voltaje para funcionar: 24V, 12V, 230V o 120V. La clasificación de vatios no te dice este número. Es una información adicional. Debería haber una etiqueta en el dispositivo que indique el voltaje.

Curiosamente, está presentando una fórmula que calcula una corriente.

Así es como llegas a la fórmula: Con un solo dispositivo, tiene un divisor de voltaje simple.

V3 / V0 = R3 / (R1 + R2)
or
V3 = R3 / (R1 + R2) * V0

Tenga en cuenta que R1 + R2 son muy pequeños, por lo que el voltaje V3 no será muy diferente de V0. R1 y R2 son probablemente despreciables.

Uso el operador paralelo || para abreviar:

a||b = a * b / (a + b)

Ahora agrega el segundo dispositivo. El divisor de voltaje cambia, usted está agregando 3 resistencias adicionales al circuito: R4, R5 y R6. Más específicamente, los agrega en paralelo a R3. Básicamente, siempre agrega las 3 resistencias en paralelo a la segunda resistencia de las resistencias agregadas previamente.

Aquí es donde el siguiente dispositivo se "conecta":

V3 = R3 || (R4 + R5 + R6) / (R1 + R2) * V0

Lo interesante es cómo puedes calcular V6 fácilmente ahora. Si piensa en V3 como el voltaje suministrado ahora, el circuito del segundo dispositivo se comporta como el primero con respecto a V3 (en lugar de V0)

V6 / V3 = R6 / (R4 + R5)
or
V6 = R6 / (R4 + R5) * V3
or, inserting the formula for V3 from above:
V6 = R6 / (R4 + R5) * R3 || (R4 + R5 + R6) / (R1 + R2) * V0

Estas fórmulas combinan circuitos en serie y en paralelo anidados entre sí. Esto hace que sea difícil proporcionar una fórmula cerrada para muchos dispositivos arbitrarios.

Para ilustrar, tomemos lo anterior y veamos cómo se expande un tercer dispositivo, las fórmulas:

El tercer dispositivo agregará 3 resistencias nuevamente, en paralelo a R6. Esto cambia V3 de la siguiente manera:

V3 = R3 || (R4 + R5 + (R6 || (R7 + R8 + R9) ) / (R1 + R2) * V0

que a su vez cambia V6 a:

V6 = R6 / (R4 + R5) * R3 || (R4 + R5 + (R6 || (R7 + R8 + R9) ) / (R1 + R2) * V0

El voltaje del nuevo dispositivo con respecto al anterior es nuevamente un simple divisor de voltaje:

V9 / V6 = R9 / (R7 + R8)
or
V9 = R9 / (R7 + R8) * V6

Espero que vea el patrón emergente que estaba solicitando.

Y ahora para algo completamente diferente: la vida real

Los cables tienen una resistencia muy baja. Negligiblemente bajo. Los cables no causarán que el voltaje caiga demasiado bajo en sus dispositivos. Probablemente estés ahorrando para asumir que el voltaje es bastante similar.

Su pregunta es qué limita la cantidad de dispositivos que puede encadenar. La respuesta es la fuente de alimentación . Cada dispositivo que agregue se agrega a la corriente que se extrae del suministro y solo puede entregar una cierta cantidad.

Las matemáticas son muy fáciles aquí: No puede utilizar más vatios que sus suministros de suministro. Resuma todos los vatios en sus dispositivos y vea si su suministro puede entregar tanto (si hace más, no hay problema) No hay forma de evitar esto.