Estoy estudiando un control óptimo para el péndulo invertido en la siguiente figura
el estado y la salida del sistema se definen como $$ x = \ begin {bmatrix} r & \ theta & \ dot {r} & \ dot {\ theta} \ end {bmatrix} ^ T, \ quad y = \ begin {bmatrix} r & \ theta- \ alpha & \ dot {r} \ end {bmatrix} ^ T $$
por lo que el modelo de espacio de estado continuo en el equilibrio vertical es \ begin {cases} \ dot {x} (t) & = Axe (t) + B_u u (t) + B_ \ alpha \ alpha (t) + B_ \ tau \ tau (t) + B_ {F_s} F_s \ text {signo} (\ dot {r} (t)) \\ y (t) & = Cx (t) + D_ \ alpha \ alpha (t) \ end {cases} donde la inclinación de perturbación \ $ \ alpha \ $ es supuestamente costosa, \ $ \ tau \ $ es una perturbación de torsión, \ $ B_ {F_s} F_s \ text {sign} (\ dot {r} (t)) \ $ is El término de fricción de Coulomb y \ $ u \ $ es la fuerza de entrada aplicada al carro. Los valores numéricos para las matrices de transferencia son: $$ A = \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2.8040 y amp; -5.2658 & 0 \\ 0 & 18.5885 y amp; -19.6959 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B_u = \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 3.7629 \\ 5.5257 \ end {bmatrix}, \ quad B_ \ alpha = \ begin {bmatrix} 0\ 0 \\ - 12.6447 \\ 18.5885 \ end {bmatrix}, \ quad B_ \ tau = \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0.5650 \\ 3.7629 \ end {bmatrix}, \ quad B_ {F_s} = \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1.1187 \\ -0.5650 \ end {bmatrix} $$ $$ C = \ begin {bmatrix} I_3 & 0_ {3 \ times1} \ end {bmatrix}, \ qquad D_ \ alpha = \ begin {bmatrix} 0 & -1 & 0 \ end {bmatrix} ^ T $$ donde \ $ I_n \ $ es la matriz de identidad \ $ n \ times n \ $ y \ $ 0_ {m \ times n} \ $ es la matriz nula \ $ m \ times n \ $.
Para una implementación digital se requiere un muestreo adecuado del sistema anterior, por lo que el modelo de espacio de estado relativo discreto está en la forma \ begin {cases} x_ {k + 1} & = \ Phi x_k + \ Gamma_u u_k + \ Gamma_ \ alpha \ alpha_k + \ Gamma_ \ tau \ tau_k + N_k (\ dot {r} _k) \\ y_k & = Cx_k + D_ \ alpha \ alpha_k \ end {cases}
Ahora está mi problema. Para contrarrestar los efectos de las inclinaciones de rieles constantes, se agrega un integrador de tiempo discreto al modelo \ $ (\ Phi, \ Gamma_u) \ $. Se toma en la forma simple. \ begin {equation} \ tag {1} w_ {k + 1} = w_k + r_k \ end {equation} por lo que el estado extendido del sistema se convierte $$ x ^ {\ text {e}} = \ begin {bmatrix} x & w \ end {bmatrix} ^ T $$ y la retroalimentación del estado está diseñada por la minimización de la función de costo $$ J (u) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty (x_k ^ \ text {e}) ^ TQx_k ^ \ text {e} + Ru_k ^ 2 $$ donde las matrices de costo \ $ Q \ $ deben ser semi-definidas como positivas y el costo escalar \ $ R \ $ debe ser estrictamente positivo.
No puedo entender la función del integrador \ $ (1) \ $. La inclinación del riel afecta tanto la entrada como la salida del sistema, por lo que la acción integral contrarresta solo el efecto en la salida. Además, la matriz de estado \ $ A \ $ es singular, por lo que el sistema al menos tiene una acción integral por sí mismo, y no se deben agregar más integradores al sistema.
Tal vez se considere el integrador \ $ (1) \ $ para llevar la posición del carrito al inicio del riel, es decir, \ $ r = 0 \ $.
Gracias de antemano por cualquier sugerencia.