Una simple bombilla puede funcionar directamente, por ejemplo, 3V, 5V, 12V (depende de la que obtenga). Un LED es diferente, requiere una cierta cantidad de corriente para pasar antes de que se encienda. Debido a que un LED es una especie de diodo (lo simbólico lo muestra), el voltaje permanece casi constante cuando se está conduciendo. Subirá un poco, pero eso es casi insignificante.
Un LED típico requiere un mínimo de 1 o 2 mA para encenderse. La mayoría tiene un máximo de unos 20 mA. El voltaje depende del color y, a veces, del tipo de LED que tenga. Digamos que tienes un simple LED rojo.
Típicamente diría 'caída de 2V a 20mA'. Eso significa que si ejecuta 20 mA a través de él, habrá una caída de voltaje de 2V (NO al revés, esto puede ser un poco difícil de entender al principio).
Pero, tenemos un suministro de 5V ¿verdad? Entonces, si le ponemos 5V, el LED conducirá mucho más de 20mA y explotará. Lo que queremos es hacer un circuito que la resistencia tome 3V hacia arriba, y 20mA fluirá a través de la resistencia y el LED (porque están en serie).
Podemos hacer eso con la ley de Ohm. Describe la relación entre la corriente y el voltaje de una resistencia:
R = U / I
En este caso, queremos U 3V (la tensión a través de la resistencia) y I de 20mA. Así lo rellenamos:
R = 3V / 20mA = 3V / 0.02A = 150 ohmios.
Ahora, debido a que el LED está ejecutando un Arduino, es posible que el microcontrolador no pueda entregar 20 mA. Además, no conozco las especificaciones exactas del LED, que pueden ser diferentes. Así que supongo que han calculado sus 560 ohmios sobre una buena base.
¿Por qué obviamente no es 20k o 2 ohms ... bueno. Si coloca toda la 5V en una resistencia de 20k, solo obtendrá 0.25mA de corriente. Suponiendo que el LED tardará un poco, casi no habrá luz alguna.
Si tomas 2 ohmios, vas a encender el LED. Habrá tanta corriente que el LED está encendido.
En cuanto al arduino;
Un arduino contiene un chip microcontrolador. Estos son dispositivos inteligentes que pueden cambiar la salida de un pin. Puede hacer un pin alto (hacerlo de 5V), o bajo (hacer que sea de 0V). Podemos programar eso por software.
Si haces el pin alto, solo pondrá 5V en tu LED y resistencia. La corriente fluirá, el LED se encenderá, etc.
Si hace el mínimo, pondrá 0V en el LED y la resistencia. Eso no funcionará mucho y el LED se apagará.
Los circuitos siempre requieren un bucle de hecho, pero el microcontrolador tiene hardware dentro para solucionarlo. Piense en ello como interruptores internos que conectarán la fuente de alimentación de 5 V al pin 13 o GND (si su estado es bajo).
El LED y la resistencia están conectados a tierra para completar ese circuito.
También podríamos haberlo hecho al revés, pero entonces el LED estará ENCENDIDO si hace que el pin esté bajo (0V) y se apague si hace que el pin esté alto (5V).