Al calcular la FFT de punto N de alguna señal, el resultado siempre se divide por N. Puedo entender por qué este es el caso de una suma sobre los N puntos, pero a menudo el resultado de la operación FFT es un vector de longitud N en lugar de una suma. ¿Por qué, entonces, el vector de longitud-N que es el resultado de la FFT escalado por el número de puntos (N) utilizados para calcular la FFT? Gracias.
La diferencia es que la transformada de Fourier digital (y FFT también) da un vector de tamaño N (o M en algunos casos) que contiene sumas de N muestras.
Entonces, básicamente, cada punto de la transformación FFT es el resultado de una suma en un cierto intervalo de tiempo de las muestras basadas en el tiempo. Es por eso que divides por N.
Puedes considerarlo de esta manera: tomas un intervalo de N muestras de tu señal; luego, básicamente sumas todas las muestras N veces, pero cada vez que las multiplicas por una función diferente, eso permite extraer la información de una frecuencia específica (o rango de frecuencia, para ser más precisos).
Al final, en resumen, en lugar de tener N muestras, cada una asociada a un intervalo de tiempo, tiene N muestras (como antes) pero cada una de ellas se relaciona con el intervalo completo y describe el componente de la señal para un rango de frecuencia específico.
Para completar, hay cuatro casos de transformación de Fourier:
Transformada de Fourier continua, para señales continuas en el tiempo, en un intervalo finito, que proporciona una respuesta de frecuencia continua;
Serie de Fourier, que toma una señal continua y periódica y proporciona series discretas de armónicos, por lo que con componentes frecuenciales discretos;
Transformada de Fourier discreta en el tiempo, el recíproco de (2), en la cual, a partir de una señal de tiempo discreto, realiza una función periódica en el dominio de la frecuencia;
Transformada digital de Fourier, que toma una señal discreta y periódica para proporcionar un espectro discreto y periódico.
Entonces, transformar una señal periódica da un espectro discreto y viceversa.
El factor de escala 1 / N se coloca casi arbitrariamente. Un FFT sin escalar seguido de un IFFT sin escalar que usa exactamente los mismos factores de doblez exponencial complejos multiplica el vector de entrada por el escalador N. Para recuperar la forma de onda original después de un viaje de ida y vuelta de IFFT (FFT ()) (lo que les hace funciones inversas) algunos pares FFT / IFFT escalan la FFT en 1 / N, algunos escalan la IFFT en 1 / N, algunos escalan tanto en 1 / sqrt (N).
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