Diagrama del circuito para el uso ininterrumpido de un dispositivo de 12V 1A con una batería de 12V 7Ah con carga automática y corte de carga completa

Puedes cargar la batería usando un Arduino como controlador.

Sienta el voltaje de la batería con el ADC, asegurándose de reducir los doce voltios con un divisor de voltaje, ya que el Arduino solo manejará una entrada de 5 V en las entradas. A partir de esto, puede calcular el ciclo de trabajo de la señal para enviarla a la batería para que se cargue.

Una vez que la batería esté completamente cargada, detenga la señal de entrada.

¿Qué va a utilizar para una entrada, ya que es posible que tenga que obtener una fuente de alimentación de CA a 12V CC?

Realice una búsqueda del cargador PWM de Arduino para obtener más detalles.

Todo depende de si quieres construir, no comprar, la compra será más fácil, pero ¿dónde está la sensación de logro en eso? >)

Yo sugeriría usar un módulo listo para usar. Googlear "cargador de batería de 12V para [su tipo de batería]" sería un buen comienzo. No puedo conectarte porque no sé qué tipo de batería, pero puedo asumir que el ácido de plomo es bueno, ya que es bueno ya que estos son circuitos bastante comunes.

En cuanto al primer punto, la conexión de una batería de 12 V al módem no será perjudicial. El módem solo usará tanta corriente como necesite. El hecho de que la batería pueda suministrar corrientes más grandes no causará daño a menos que el módem esté defectuoso. La mayoría de los cargadores están diseñados para cambiar a la energía de la batería si no se suministra una fuente alternativa. Puede obtener unidades precompiladas de Amazon, o chips de IC individuales de un proveedor como Digikey, según su conocimiento de EE. Si es poco, me quedaría con el primero.