Q3.24 (d) Señales y sistemas 2ed by A. Oppenheim

Permítame comenzar por la definición de los coeficientes de Fourier que utilizo:

$$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ke ^ {j2 \ pi kt / T} \ tag {1} $$ con $$ c_k = \ frac {1} {T} \ int_ {0} ^ Tf (t) e ^ {- j2 \ pi kt / T} dt $$

donde \ $ f (t) \ $ es periódico con el período \ $ T \ $. Si ahora mira la serie de Fourier de un peine de Dirac

$$ \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-kT) = \ frac {1} {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {j2 \ pi kt / T} \ tag {2} $$

y compara (1) y (2), luego ves que los coeficientes de Fourier de la señal \ $ y (t) \ $ en tu ejemplo en realidad están dados por \ $ c_k = 1 / T \ $ (para todo \ $ k \ $) con \ $ T = 4 \ $, que difiere de los coeficientes \ $ b_k \ $ en el ejemplo por un factor de 4. No estoy seguro si esto es un error en el libro o si Ellos usan alguna otra escala. De todos modos, usaré los valores de \ $ b_k \ $ y \ $ c_k \ $ como se indica en el ejemplo y mostraré cómo puede obtener \ $ z (t) \ $. Para obtener los factores correctos, utilizaré

$$ y (t) = 4 \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-4k) $$ que corresponde a los coeficientes de Fourier \ $ b_k = 1 \ $ para todos \ $ k \ $. Desde (1) la señal \ $ z (t) \ $ viene dada por

$$ z (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ke ^ {j2 \ pi kt / T} $$

Desde \ $ c_k = 0 \ $ para incluso \ $ k \ $ tenemos

$$ z (t) = \ sum_ {k \ textrm {odd}} c_ke ^ {j2 \ pi kt / T} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {2k + 1 } e ^ {j2 \ pi (2k + 1) t / T} $$

Y como \ $ c_ {2k + 1} = 1 \ $ para todos \ $ k \ $ podemos simplemente reemplazarlos por \ $ b_k \ $:

$$ z (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} b_ke ^ {j2 \ pi (2k + 1) t / T} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} b_ke ^ {j2 \ pi k (2t) / T} e ^ {2 \ pi t / T} = y (2t) e ^ {2 \ pi t / T} \ tag {3} $$

Usando \ $ \ delta (at) = \ delta (t) / | a | \ $ obtenemos

$$ y (2t) = 4 \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (2t-4k) = 4 \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (2 (t-2k)) = 2 \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-2k) \ tag {4} $$

Combinando (3) y (4) y usando \ $ T = 4 \ $ obtenemos

$$ z (t) = 2 \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ pi t / 2} \ delta (t-2k) $$

que difiere del dado en tu ejemplo por un factor 2. De todos modos, dada la definición (1) estoy bastante seguro de que esto es correcto.