¿Condiciones iniciales distintas de cero para un circuito resuelto usando el teorema de superposición?

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Supongamos que tengo un circuito lineal con 3 fuentes de voltaje Vin1, Vin2 y Vin3, y un voltaje de interés Vout. Es una práctica común resolverlo utilizando el teorema de superposición, por lo que esto conducirá a un conjunto de 3 ecuaciones: $$ V_ {out, 1} = f_1 (V_ {in1}) $$ $$ V_ {out, 2} = f_2 (V_ {in2}) $$ $$ V_ {out, 3} = f_3 (V_ {in3}) $$ Entonces $$ V_ {out} = V_ {out, 1} + V_ {out, 2} + V_ {out, 3} $$ Sin embargo, parece que cada una de las ecuaciones debe tener sus propias condiciones iniciales, y naturalmente (en mi caso, de todos modos) solo se conocen las condiciones iniciales relacionadas con el circuito total, no su desglose en cada capa ".

Lo que quiero decir es que lo sé $$ V_ {out} (t = 0) = V_0 \ neq 0 $$ y $$ \ frac {dV_ {out}} {dt} (t = 0) = 0 $$ Pero tampoco $$ V_ {out, 1} (t = 0) $$ $$ V_ {out, 2} (t = 0) $$ $$ V_ {out, 3} (t = 0) $$ ni $$ \ frac {dV_ {out, 1}} {dt} (t = 0) $$ $$ \ frac {dV_ {out, 2}} {dt} (t = 0) $$ $$ \ frac {dV_ {out, 3}} {dt} (t = 0) $$ (ejemplo de sistema de 2do orden)

¿Existe una relación entre lo que no sé (las condiciones iniciales de los subcircuitos) y lo que sí sé (las condiciones iniciales del circuito total)?

    
pregunta Mister Mystère

1 respuesta

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Dado que el sistema tiene condiciones iniciales, las ecuaciones son ecuaciones diferenciales. Con su ejemplo, hay tres ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Dado que las ecuaciones son lineales, las fuentes de voltaje (entradas) siempre aparecerán como términos no homogéneos (también conocido como, funciones de entrada, funciones de forzamiento). Cuando se resuelva, cada ecuación producirá una solución particular y una solución homogénea con constantes (s). Con su ejemplo, 3 pares de soluciones particulares y soluciones homogéneas, cada una con 2 constantes integradoras.

Por lo tanto, parece que hay dos constantes que deben ser determinadas por las condiciones iniciales, pero las soluciones homogéneas serán linealmente dependientes, por lo que la cantidad de constantes colapsará de nuevo a un solo conjunto. En su ejemplo, las 6 constantes colapsan de nuevo a 2. Sabiendo esto, podría simplemente tomar las 3 soluciones particulares y cualquiera de las soluciones homogéneas, sumarlas y esa es la solución general para el sistema. Luego arregla las 2 constantes con las condiciones iniciales.

    
respondido por el rioraxe

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