Al modelar un sistema, primero debe estimar la forma de la función de transferencia (orden, retraso de tiempo, etc.) y luego estimar los parámetros (coeficientes para la función de transferencia).
Una forma común de estimar estos parámetros es formular una función de costo que describa la precisión de las estimaciones, y luego minimizar esta función de costo con algún método de optimización analítica o numérica. Dos formas comunes de la función de costo son el error de ecuación y el error de salida. Estos se muestran para un sistema de tiempo discreto a continuación:
Error de salida: e (k)
u (k) y y (k) son las entradas y salidas reales del sistema y y (k) hat es el modelo salida:
$$ e (k) = y (k) - \ hat {y (k)} $$
$$ e (k) = y (k) - \ frac {\ hat {b_1} z ^ {- 1}} {1+ \ hat {a_1} z ^ {- 1}} u (k) $ $
Y la función de costo es:
$$ J = \ sum_ {k = 1} ^ {N} e (k) ^ 2 $$
Esto se puede resolver numéricamente, por ejemplo, con un gradiente decente o el algoritmo genético.
Error de ecuación: E (k)
$$ E (k) = y (k) - \ hat {y (k)} $$
$$ E (k) = y (k) + \ hat {a_1} y (k-1) - \ hat {b_1} u (k-1) $$
$$ J = \ sum_ {k = 1} ^ {N} E (k) ^ 2 $$
Esto se puede resolver analíticamente diferenciando J con respecto a cada parámetro y comparando el resultado con cero, y luego resolviendo el conjunto resultante de ecuaciones.
Se dice que el Error de salida es mejor para los datos ruidosos, pero el error de ecuación es mejor de lo contrario, ya que no sufre el problema de mínimos locales.
Mi pregunta:
Parece que al usar el error de salida o error de ecuación, la función de costo tiene propiedades diferentes, pero para mí, parecen estar usando fundamentalmente la misma fórmula , pero se han reorganizado para verse diferentes. . Entonces, ¿por qué la función de costo termina con diferentes propiedades? Es decir, uno es solucionable y uno es más robusto al ruido.
Esto es lo que quiero decir al decir que usan la misma fórmula:
El error de ecuación se define como la salida real medida menos la salida del modelo:
$$ E (k) = y (k) - (- \ hat {a_1} y (k-1) + \ hat {b_1} u (k-1)) $$
Donde está la salida del modelo:
$$ \ hat {y (k)} = - \ hat {a_1} y (k-1) + \ hat {b_1} u (k-1) $$
Pero si reorganiza esta fórmula para que esté en forma de función de transferencia:
$$ \ hat {y (k)} = - \ hat {a_1} y (k) z ^ {- 1} + \ hat {b} z ^ {- 1} u (k) $$
$$ \ hat {y (k)} (1+ \ hat {a_1} z ^ {- 1}) = \ hat {b} z ^ {- 1} u (k) $$
$$ \ hat {y (k)} = \ frac {\ hat {b} z ^ {- 1} u (k)} {(1+ \ hat {a_1} z ^ {- 1})} $$
Que es exactamente lo mismo que el error de salida. Por lo tanto, la fórmula de Error de salida y la fórmula de Error de ecuación son la misma ecuación, pero simplemente se reorganizan para parecer diferentes.
Entonces, ¿por qué es la función de costo para una solución y para la otra no?
¿Y por qué el resultado de la optimización se traduce en un modelo más resistente al ruido cuando se utiliza la función de costo con uno y no con el otro?
Lo siento si esto se publicó en el sitio incorrecto. No hay un sitio de intercambio de pila para la ingeniería de control, así que pensé que este es el mejor lugar.