Pensé que publicaría una respuesta ya que me di cuenta de esto y tenía algunas vistas:
$$ H (s) = \ frac {10 (s + 300)} {s ^ 2 + 20s + 50000} $$
Debería ser inmediatamente obvio que los polos son complejos, pero solo necesitamos conocerlos para determinar \ $ h (t) \ $ más tarde.
La entrada tiene una frecuencia \ $ \ omega = 2 \ pi30 \ $ in \ $ x (t) = 2 \ cos (2 {\ pi} 30t + 0.7) u (t) \ $
Sustituyendo por \ $ s = j \ omega \ $ obtenemos
$$ H (j \ omega) = \ frac {10j \ omega + 3000} {20j \ omega + 50000- \ omega ^ 2} $$
La magnitud y fase de esta respuesta en una frecuencia seleccionada afecta la magnitud y fase de la respuesta forzada. es decir, para una entrada sinusoidal:
$$ u (t) = M_i \ cos ({\ omega} t + {\ phi} _i) \ tag {1} $$
$$ y (t) = M_o (\ omega) \ cos ({\ omega} t + {\ phi} _o (\ omega)) \ tag {2} \ label {2} $$
Donde los subíndices \ $ i, o \ $ denotan las magnitudes y fases de entrada y salida.
Sustituyendo \ $ \ omega = 2 {\ pi} 30 \ $ da
$$ \ frac {3000 + j600 \ pi} {50000-3600 \ pi + j1200 \ pi} \ etiqueta {3} $$
$$ = 0.09114 {\ angle} 0.4639 = M_o (\ omega) \ angle {\ phi} _o (\ omega) \ tag {4} \ label {4} $$
Con \ $ \ ref {4} \ $ sustituido en \ $ \ ref {2} \ $
La respuesta en estado estacionario sinusoidal es
$$ x (t) = 0.1823 \ cos (2 {\ pi} 30t + 1.1622) u (t) $$
Cual es el resultado deseado.
La parte más interesante es el dominio de tiempo para la función de transferencia \ $ h (t) \ $.
Emplearé transformadas de Laplace
$$ \ mathcal {L} \ left [Ae ^ {- at} \ cos {{\ omega} t} \ right] = \ frac {A (s + a)} {(s + a) ^ 2 + \ omega ^ 2} \ tag {5} \ label {5} $$
y
$$ \ mathcal {L} \ left [Be ^ {- at} \ sin {{\ omega} t} \ right] = \ frac {B \ omega} {(s + a) ^ 2 + \ omega ^ 2} \ tag {6} \ label {6} $$
o
$$ \ mathcal {L} \ left [Ae ^ {- at} \ cos {{\ omega} t} + Be ^ {- at} \ sin {{\ omega} t} \ right] = \ frac {A (s + a) + B \ omega} {(s + a) ^ 2 + \ omega ^ 2} \ tag {7} \ label {7} $$
Completando el cuadrado para \ $ D (s) \ $ in \ $ H (s) = \ frac {N (s)} {D (s)} \ $ para alcanzar la forma de \ $ \ ref {7 } \ $
$$ H (s) = 10 \ frac {(s + 10) + 290} {(s + 10) ^ 2 + 49900} \ tag {8} $$
Y averiguar \ $ B \ $ con \ $ A = 1 \ $ da
$$ B = \ frac {290} {\ sqrt {49900}} \ tag {9} $$
Luego, el dominio de tiempo de la transferencia al sustituir los valores en el lado izquierdo de \ $ \ ref {7} \ $ se convierte en
$$ h (t) = 10e ^ {- 10t} \ left (\ cos (\ sqrt {49900} t) + B \ sin (\ sqrt {49900} t) \ right) \ tag {10} $ $
Permitiendo que \ $ C = \ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2} = \ sqrt {1 ^ 2 + B ^ 2} \ $
$$ h (t) = 10e ^ {- 10t} C \ left (\ frac {1} {C} \ cos (\ sqrt {49900} t) + \ frac {B} {C} \ sin ( \ sqrt {49900} t) \ right) \ tag {11} $$
Luego \ $ \ cos {\ phi} = \ frac {1} {C} \ $ y \ $ \ sin {\ phi} = \ frac {B} {C} \ $
$$ h (t) = 10e ^ {- 10t} C \ left (\ cos {\ phi} \ cos (\ sqrt {49900} t) + \ sin {\ phi} \ sin (\ sqrt {49900 } t) \ derecha) \ etiqueta {12} $$
Usar una identidad trigonométrica se convierte en
$$ h (t) = 16.3871e ^ {- 10t} \ cos (223.3831t - 0.9144) \ tag {13} $$
