Filtro de paso de banda de cuarto orden Bessel - No puedo resolver la parte final (cuentas de matemáticas)

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Con la función de ganancia anterior que calculó, diseñe un filtro de paso de banda de cuarto orden de Bessel con frecuencia central \ $ f0 = 10 kHz \ $ y ancho de banda \ $ Bf = f0 / 10 \ $.

Hice los cálculos con el programa Mathematica e incluso la parte de factorización está bien. Ahora estoy tratando de hacer coincidir los coeficientes obtenidos, con la función de transferencia del problema anterior, para obtener el valor de los condensadores y las resistencias, pero incluso asignar valores a los condensadores que no puedo resolver.

\ $ F (S) = \ frac {1} {1 + a_1S + b_1S ^ 2} \ rightarrow F (s) = \ frac {1} {1 + a_1 \ big (\ frac {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} {Bs} \ big) + b_1 \ big (\ frac {s ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} {Bs} \ big) ^ 2} \ $

\ $ F_ {BP} (s) = \ frac {1} {1+ \ frac {a_1s} {B} + \ frac {a_1 \ omega_0 ^ 2} {Bs} + \ frac {b_1s ^ 2} {B ^ 2} + \ frac {b_12 \ omega_0 ^ 2} {B ^ 2} + \ frac {b_1 \ omega_0 ^ 4} {B ^ 2s ^ 2}} \ Leftrightarrow \ $

\ $ F_ {BP} (s) = \ frac {s ^ 2} {s ^ 2 + \ frac {a_1s ^ 3} {B} + \ frac {a_1 \ omega_0 ^ 2} {B} s + \ frac {b_1} {B ^ 2} s ^ 4 + \ frac {b_12 \ omega_0 ^ 2} {B ^ 2} s ^ 2 + \ frac {b_1 \ omega_0 ^ 4} {B ^ 2}} \ Leftrightarrow \ $

\ $ F_ {BP} (s) = \ frac {s ^ 2} {\ frac {b1} {B ^ 2} s ^ 4 + \ frac {a_1} {B} s ^ 3 + \ big ( \ frac {b_12 \ omega_0 ^ 2} {B ^ 2} +1 \ big) s ^ 2 + \ frac {a_1 \ omega_0 ^ 2} {B} s + \ frac {b_1 \ omega_0 ^ 4} {B ^ 2} } \ $

Coeficientes de Bessel de 2º orden:

\ $ a_1 = 1,3617 \ $

\ $ b_1 = 0,618 \ $

\ $ Q = 0,58 \ $

Valores de frecuencia y ancho de banda:

\ $ f_0 = 10 KHz \ $

\ $ \ omega_0 = 2 \ pi \ veces 10 ^ 4 rad / s \ $

\ $ B_f = 1 KHz \ $

\ $ B _ {\ omega} = B = 2 \ pi \ times10 ^ 3 rad / s \ $

Sustituyendo los valores de los coeficientes y frecuencias en la función de transferencia:

\ $ F_ {BP} = \ frac {s ^ 2} {1,565 \ veces 10 ^ {- 8} s ^ 4 + 2,167 \ times10 ^ {- 4} s ^ 3 + 124,6s ^ 2 + 855581 , 34s + 2,44 \ times 10 ^ {11}} \ Leftrightarrow \ $

Factorización en el programa Mathematica:

\ $ F_ {BP} (s) = \ frac {6,38978 \ veces 10 ^ 7s ^ 2} {(3,69555 \ times10 ^ 9 + 6690,03s + s ^ 2) (4,21887 \ times10 ^ 9 + 7156,62s + s ^ 2)} \ $

La función de transferencia del problema anterior es la siguiente (es en esta expresión que tengo que coincidir con los valores):

\ $ H_ {B} (s) = \ frac {G_1 (G_4 + G_5) C_2s} {G_2G_3G_5 + \ frac {G_1G_4C_2} {G_2G_3G_5Gs5) / p>

Mi problema es ahora: no puedo resolver el sistema. ¿Podrías ayudarme por favor?

Sistema de ecuaciones:

\ $ G_1 (G_4 + G_5) C_2 = \ sqrt {6,38978 \ times 10 ^ 7} \ $

\ $ G_2G_3G_5 = 3,69555 \ veces 10 ^ 9 \ $

\ $ \ frac {G_1G_4C_2} {G_2G_3G_5} = 6690,03 \ $

\ $ \ frac {G_4C_1C_2} {G_2G_3G_5} = 1 \ $

Sé que tengo que dar valores a ambos condensadores y a uno de los resistores. G es el inverso de la resistencia. Pero incluso dar valores, no puedo resolver, me da una incompatibilidad matemática.

    
pregunta Carmen González

1 respuesta

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Si tu sistema de ecuaciones es

\ $ G_1 (G_4 + G_5) C_2 = k_1 \ $

\ $ G_2G_3G_5 = k_2 \ $

\ $ \ frac {G_1G_4C_2} {G_2G_3G_5} = k_3 \ $

\ $ \ frac {G_4C_1C_2} {G_2G_3G_5} = k_4 \ $

y desea preasignar \ $ C_1 \ $ y \ $ C_2 \ $, entonces no es libre de elegir cualquier variable arbitraria para asignar un valor por usted mismo, pero solo por determinadas.

Debes averiguar cuáles:

\ $ k_3 / k_4 = G_1 / C_1 \ $, \ $ \ Rightarrow \ $ \ $ G_1 \ $ ya está determinado.

\ $ k_2 k_3 = G_1 G_4 C_2 \ $, \ $ \ Rightarrow \ $ also \ $ G_4 \ $ ya está determinado.

\ $ k_2 k_4 = G_4 C_1 C_2 \ $, \ $ \ Rightarrow \ $ also \ $ G_4 \ $ ya está determinado (no hay nueva información)

Ahora, al observar la primera ecuación, también se determina que \ $ G_5 \ $ (porque se determinan \ $ G_1, G_4 \ $ y \ $ C_2 \ $).

Finalmente, tenga en cuenta que \ $ G_2 \ $ y \ $ G_3 \ $ aparecen solo como producto \ $ G_2 G_3 \ $ en cualquiera de las ecuaciones, es decir, puede elegir una de ellas sin afectar la solubilidad del sistema.

Conclusión:
Si predeterminas \ $ C_1 \ $ y \ $ C_2 \ $ el sistema de ecuaciones también determina \ $ G_1, G_4 \ $ y \ $ G_5 \ $; es decir, no es libre de elegir cualquiera de esos \ $ G \ $ 's.

Sin embargo, deberías poder resolver el sistema de ecuaciones mediante asignando valores a cualquiera

  • \ $ C_1, C_2 \ $ y \ $ G_2 \ $ o
  • \ $ C_1, C_2 \ $ y \ $ G_3 \ $

Y si no quieres hacerlo manualmente (o si quieres verificar el resultado que encontraste manualmente), así es como puedes usar sympy para hacer el álgebra: 

from sympy import *

# Define symbols
G1, G2, G3, G4, G5 = symbols('G1 G2 G3 G4 G5')
C1, C2 = symbols('C1 C2')
k1, k2, k3, k4 = symbols('k1 k2 k3 k4')

# Solve equation system for for Vout. 
solvedEqSystem = solve([ 
        G1 * (G4 + G5) * C2           - k1, # equation (1)
        G2 * G3 * G5                  - k2, # equation (2)
        C2 * G1 * G4 / (G2 * G3 * G5) - k3, # equation (3)
        C1 * C2 * G4 / (G2 * G3 * G5) - k4  # equation (4)
    ],
    # list of variables to solve for; i.e. all the ones not listed here 
    # (C1, C2, G3) are assumed to be pre-detemined and will remain in 
    # the resulting expressions
    [G1, G2, G4, G5]  
)

for r in solvedEqSystem[0]:
    print r

Resultado: 4 expresiones para las 4 variables de anulación \ $ G_1, G_2, G_4, G_5 \ $: 

C1*k3/k4
C1*C2*k2*k3/(G3*k4*(k1 - k2*k3))
k2*k4/(C1*C2)
k4*(k1 - k2*k3)/(C1*C2*k3)
    
respondido por el Curd

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