Este circuito nunca funcionará, ya que la unión del emisor de base está desalineada. Cuando SW1 está cerrado, el emisor ve los 3.7 voltios completos, mientras que la base solo ve una fracción de este voltaje según lo determinado por R1R2. Para que el circuito funcione, desconecte R1 del emisor y conéctelo al colector. Esto asegurará que la base sea más positiva que el emisor (si diseña el divisor de voltaje R1R2 correctamente). Así es como modificaría tu circuito.
[Editar] Dicho esto, debo enfatizar que debes tener mucho cuidado al cargar celdas basadas en litio; pueden explotar o incendiarse si se manejan mal. No use este esquema hasta que sepa exactamente lo que está haciendo y cómo los valores de los componentes críticos afectan su funcionamiento.
simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab