Fórmulas para llevar a cabo en un sumador completo

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Dado un sumador completo con entradas $$ A, B \ text {y} C_ {in} $$ Las fórmulas para las salidas son $$ S = A \ oplus B \ oplus C_ {in} \ text {, Where} \ oplus \ text {significa XOR} $$ y $$ C_ {out} = AB + AC_ {in} + BC_ {in} $$

Pero cuando se crea un sumador completo combinando dos semi sumadores, la ecuación obtenida para llevar a cabo es $$ C_ {out} = AB + (A \ oplus B) C_ {in} $$

Las dos expresiones tienen tablas de verdad equivalentes, pero la razón de su igualdad no es obvia.
¿Alguien puede ayudarme, por favor, a entender cómo se puede ver fácilmente que son iguales?

    
pregunta PhantomR

1 respuesta

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Enfoque de álgebra booleana
La equivalencia de las dos formas se puede probar usando identidades booleanas

Comience con la segunda expresión $$ C_ {out} = A B + (A \ oplus B) C_ {in} $$ Usando la expansión, $$ A \ oplus B = \ bar AB + A \ bar B \ quad \ text {para XOR} $$ El lado derecho se convierte en. $$ AB + \ bar A B C_ {in} + A \ bar B C_ {in} \ tag {1} $$ Tomando B común entre los dos primeros términos, obtenemos (Propiedad de Álgebra Booleana) $$ B (A + \ bar AC_ {in}) $$ Usando el hecho de que la suma se distribuye sobre la multiplicación (en álgebra booleana) $$ A + BC = (A + B) (A + C) \ tag {2} $$ De ahí que el término se convierta en $$ B ((A + \ bar A) (A + C_ {in})) = AB + BC_ {in} $$ Conectando esto de nuevo en (1) y reutilizando la propiedad (2) con $$ B + \ bar B C_ {in} $$ Obtenemos la forma alternativa. $$ AB + BC_ {in} + C_ {in} \ tag {3} A $$ Enfoque intuitivo

La forma (3) es verdadera o 1, si dos de las 3 entradas son 1. Este es el caso, ya que habrá un acarreo si y solo si (iff) agregamos al menos 2 1.

La forma XOR, por otro lado, sugiere un punto de vista diferente. Trata el acarreo de entrada de manera diferente a los otros 2 insumos A y B. De hecho, significa que el acarreo será 1 si tanto A como B son 1 (el término AB) o Exactamente uno entre A y B es 1 y Cin es 1 Tenga en cuenta que esto es innecesariamente específico y en su lugar podríamos decir que la parte 2 de la condición es que A o B (o ambos) son 1 y Cin también es 1.

En forma booleana esto sería, $$ AB + (A + B) C_ {in} $$ Lo que es lo mismo que (3)

Se recomienda al OP que consulte las propiedades y Axiomas del Álgebra Booleana para demostrar equivalencias similares .

    
respondido por el ijuneja

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