Enfoque de álgebra booleana
La equivalencia de las dos formas se puede probar usando identidades booleanas
Comience con la segunda expresión
$$ C_ {out} = A B + (A \ oplus B) C_ {in} $$
Usando la expansión,
$$ A \ oplus B = \ bar AB + A \ bar B \ quad \ text {para XOR} $$
El lado derecho se convierte en.
$$ AB + \ bar A B C_ {in} + A \ bar B C_ {in} \ tag {1} $$
Tomando B común entre los dos primeros términos, obtenemos (Propiedad de Álgebra Booleana)
$$ B (A + \ bar AC_ {in}) $$
Usando el hecho de que la suma se distribuye sobre la multiplicación (en álgebra booleana)
$$ A + BC = (A + B) (A + C) \ tag {2} $$
De ahí que el término se convierta en
$$ B ((A + \ bar A) (A + C_ {in})) = AB + BC_ {in} $$
Conectando esto de nuevo en (1) y reutilizando la propiedad (2) con
$$ B + \ bar B C_ {in} $$
Obtenemos la forma alternativa.
$$ AB + BC_ {in} + C_ {in} \ tag {3} A $$
Enfoque intuitivo
La forma (3) es verdadera o 1, si dos de las 3 entradas son 1. Este es el caso, ya que habrá un acarreo si y solo si (iff) agregamos al menos 2 1.
La forma XOR, por otro lado, sugiere un punto de vista diferente. Trata el acarreo de entrada de manera diferente a los otros 2 insumos A y B. De hecho, significa que el acarreo será 1 si tanto A como B son 1 (el término AB) o Exactamente uno entre A y B es 1 y Cin es 1 Tenga en cuenta que esto es innecesariamente específico y en su lugar podríamos decir que la parte 2 de la condición es que A o B (o ambos) son 1 y Cin también es 1.
En forma booleana esto sería,
$$ AB + (A + B) C_ {in} $$
Lo que es lo mismo que (3)
Se recomienda al OP que consulte las propiedades y Axiomas del Álgebra Booleana para demostrar equivalencias similares .