Teoría de control: ¿Cuál es la relación entre la cantidad de elementos en su sistema y el modelo de E / S de diff'eq y la dimensión de la Matriz ABCD?

Suponga que su circuito se puede describir como un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal, y que se trata de un sistema de entrada única, salida única (SISO). Con este supuesto, el sistema puede escribirse en forma de espacio de estado como:

$$ \ dot x = Ax + Bu $$

y

$$ y = Cx + Du $$

donde x es el vector de estado, u es la entrada, y y es la salida. A es la matriz del 'sistema' que determina la dinámica de su circuito eléctrico. B es el vector de acoplamiento de entrada. Determina cómo se acopla la entrada a su conjunto de ecuaciones de estado. C es su vector de acoplamiento de salida y determina cómo se acoplan los estados del sistema al otput. Finalmente, D es su factor de acoplamiento de avance (un escalar) que determina cómo (o si) la entrada se acopla directamente a la salida sin dinámica.

Ahora para responder a tu pregunta. Al expresar su circuito en términos de un conjunto finito de N ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, se dice que tiene un sistema de estado N, y A será NXN, B será NX 1, C será 1 XN y D será dimensión 1.

La dimensión del sistema no es igual al número de elementos o al número de elementos de almacenamiento de energía (por ejemplo, Condensadores e Inductores), sino al número mínimo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que pueden describir el sistema. Otra forma de resolver esto es escribir cualquier conjunto de ecuaciones diferenciales para describir el sistema y contar el número de integradores (no diferenciadores). Eso le dará el orden (dimensión) del sistema.

El mismo razonamiento se puede aplicar a un sistema de espacio de estado lineal MIMO (entrada múltiple, salida múltiple) donde B, C son, en general, matrices.

El orden del sistema es el número de integradores en el sistema. Para un modelo matemático, esto se traduce en la cantidad de condiciones iniciales necesarias para integrar el modelo. Por lo tanto, para un modelo estándar de espacio de estados como el que describe, el orden es el número de estados en el modelo de espacio de estados. Esto es diferente de la orden mínima. Los dos concuerdan si el modelo es controlable y observable. (También si tenía algo como \ $ e \ dot {x} = a x + bu \ $, donde \ $ e \ $ es singular, entonces el orden no es igual al número de estados, pero si \ $ e \ $ no es un modelo, entonces el orden es la dimensión de \ $ a \ $ o \ $ e \ $ matrix.)

Déjame aclarar esto con un ejemplo. Considere el sistema descrito aquí ( enlace ), y voy a asumir que \ $ L = C R_1 R_2 \ $. El sistema físico tiene dos elementos integradores y la representación del espacio de estados (ssm) también tiene dos estados para reflejar eso. El orden en ambos casos es 2. Sin embargo, no es controlable y, por lo tanto, el sistema se puede simular o realizar con un sistema de orden inferior. Una realización mínima tiene \ $ a = - \ frac {1} {C R_1} \ $ y \ $ b = \ frac {\ sqrt {\ frac {1} {R_2 ^ 2} +1}} {\ mathcal {C } R_1} \ $. Así, el orden mínimo es 1.

Para resumir una respuesta a la pregunta en el título. Dado un sistema físico con N elementos, el orden del sistema físico es N. El orden y el orden mínimo del modelo matemático de espacio de estado será N si puede elegir Tus estados serán controlables y observables. Para la diferencia matemática , si toma la transformada de Laplace y si no se pueden cancelar los polos y los ceros, el orden y el orden mínimo es N. (Este último análisis en términos de polos y ceros simples no lo hace). Escala bien para sistemas multivariables. La mejor manera de analizar esto es, en general, observar el modelo de matriz de sistema de Rosenbrock enlace . )