Me parece que la fuente de voltaje en t = 0 simplemente está suministrando algo de carga al capacitor, y la ecuación diferencial sería simplemente la respuesta transitoria decadente del circuito RLRC con un voltaje inicial del capacitor de 8 V (Vc (0 ) = 8V).
Así que sí, en t - > ∞, i (t) = 0; no habría caída de voltaje en ningún componente, no habría corriente fluyendo a través de ningún componente.
Por la definición de un condensador:
$$ Ic (t) = C \ frac {\ mathrm {d} Vc (t)} {\ mathrm {d} t}, $$
Dado que el voltaje en C es el mismo que el voltaje en R y RL:
$$ Vc (t) = R {i (t)} + L \ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t} = RIr (t), $$
Y como Ir (t) + i (t) = Ic (t) = Vc (t) / R + i (t).
Ha pasado un tiempo desde que resolví ecuaciones diferenciales, pero creo que esto se simplifica a:
$$ Ic (t) = C * (R \ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t} + L \ frac {\ mathrm {d ^ 2} i (t)} { \ mathrm {d} t ^ 2}) = {i (t)} + (L / R) \ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t} + i (t) $ $
$$ Ic (t) = 2 \ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t} + 2 \ frac {\ mathrm {d ^ 2} i (t)} { \ mathrm {d} t ^ 2} = {i (t)} + \ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t} + i (t) $$
$$ \ frac {\ mathrm {d ^ 2} i (t)} {\ mathrm {d} t ^ 2} + 0.5 \ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d } t} - i (t) = 0 $$
