Tu circuito realmente no tiene ningún sentido, en mi opinión. Es probable que se haya creado casi al azar y sin ningún "actor inteligente" detrás. Verás por qué tengo esa opinión en un momento.
Vamos a volver a dibujar ese esquema de disposición loca, para comenzar.
simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab
Primero analicemos el esquema asumiendo que \ $ Q_2 \ $ es completamente off (\ $ V_I = 20 \: \ textrm {V} \ $) y ver dónde deja las cosas.
Aquí está la ecuación nodal de KCL para \ $ V_X \ $:
$$ \ begin {align *}
\ frac {V_X} {R_3} + \ frac {V_X} {R_6} & = I_E + \ frac {700 \: \ textrm {mV}} {R_3} \ tag {Eq. 1}
\ end {align *} $$
Donde sabemos esto de KVL:
$$ \ begin {align *}
V_X & = 20 \: \ textrm {V} -I_E \ cdot R_2-.7- \ frac {I_E} {\ beta_1 + 1} \ cdot R_5 \ label {vx} \ tag {Eq. 2}
\ end {align *} $$
Veamos lo que suponiendo \ $ \ beta_1 = 100 \ $ nos consigue:
$$ \ begin {align *}
I_E & \ approx 1.916 \: \ textrm {mA} \\\\
V_X & \ approx 8.772 \: \ textrm {V}
\ end {align *} $$
Desde aquí, podemos resolver que \ $ I_ {R_3} = \ frac {V_X-700 \: \ textrm {mV}} {R_3} = 161.44 \: \ mu \ textrm {A} \ $. Dado su propio cálculo que \ $ I_ {C_3} = 3.96 \: \ textrm {mA} \ $, esto ya funciona en \ $ \ beta_3 \ approx 24.5 \ $ y eso ya está muy por debajo de su valor nominal de \ $ 100 \ $.
Ahora está claro que, sin ninguna contribución de \ $ Q_2 \ $, el circuito ya coloca \ $ Q_3 \ $ en al menos una situación de saturación superficial.
Está bien. ¿Y ahora que? Bueno, \ $ Q_2 \ $ no aportará nada hasta que su voltaje base sea al menos \ $ 700 \: \ textrm {mV} \ $ por debajo del valor calculado anteriormente para \ $ V_X \ $. Entonces, \ $ V_I \ le 8 \: \ textrm {V} \ $, en términos generales. Como se imagina que el valor de \ $ V_I \ $ declina hacia (y quizás debajo de la superficie), \ $ Q_2 \ $ comenzará a alejar la corriente y, por lo tanto, se moverá gradualmente a \ $ Q_3 \ $ fuera de saturación.
Eso sucederá cuando \ $ \ beta_3 = 100 \ $, o cuando \ $ V_X \ approx 2.7 \: \ textrm {V} \ $. Desde \ $ \ ref {vx} \ $ arriba, podemos resolver fácilmente que esto sucede cuando la corriente del emisor es \ $ I_ {E_1} \ approx 3 \: \ textrm {mA} \ $. Restar \ $ I_ {B_3} \ approx 40 \: \ mu \ textrm {A} \ $ y \ $ I_ {R_3} \ approx 540 \: \ mu \ textrm {A} \ $, esto deja aproximadamente \ $ I_ { C_2} \ approx 2.42 \: \ textrm {mA} \ $. Como \ $ V_ {CE_2} \ approx 2.7 \: \ textrm {V} \ $, \ $ Q_2 \ $ no se encuentra saturado en este momento, por lo que se puede usar el \ $ \ beta_2 = 100 \ $ completo y calculamos \ $ I_ {B_2} \ approx 24.2 \: \ mu \ textrm {A} \ $. Sabemos que \ $ V_ {B_2} \ approx 2 \: \ textrm {V} \ $, por lo que esto significa que \ $ V_I \ le 2 \: \ textrm {V} - 100 \: \ textrm {k} \ Omega \ cdot 24.2 \: \ mu \ textrm {A} \ approx -420 \: \ textrm {mV} \ $.
Entonces, ahora sabemos aproximadamente donde \ $ Q_3 \ $ deja la saturación y entra en modo activo: \ $ V_I \ le -420 \: \ textrm {mV} \ $.
\ $ Q_3 \ $ está en saturación para todos los valores positivos de \ $ V_I \ $ y calcular el punto donde deja la saturación es un poco matizado. Por eso creo que se formuló toda la pregunta sin que se le prestara mucha atención. ( podría ser una buena pregunta si está un poco avanzado en el análisis de DC).
