En mi libro de texto, Análisis del circuito de ingeniería 8.Ed por William H. Hayt (Capítulo 14, Sección 14.1 página 536) Me topé con una sección que explicaba la compleja frecuencia. El objetivo es cubrir el concepto de frecuencia compleja cuando se trata de funciones sinusoidales amortiguadas exponencialmente.
¿CÓMOHASIDOESTO?
Empecemos primero demostrando el primer reemplazo. Tome nota de que \ $ \ operatorname {cos} \ left (-x \ right) = \ operatorname {cos} \ left (x \ right) \ $ y que \ $ \ operatorname {sin} \ left (-x \ right) = - \ operatorname {sin} \ left (x \ right) \ $ :
$$ \ begin {align *} e ^ {j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} & + e ^ {- j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} \\ e ^ {j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} & + e ^ {j \ left (- \ omega \, t- \ theta \ right)} \\ \ left [\ operatorname {cos} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) + j \ cdot \ operatorname {sin} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) \ right] & + \ izquierda [\ operatorname {cos} \ left (- \ omega \, t- \ theta \ right) + j \ cdot \ operatorname {sin} \ left (- \ omega \, t- \ theta \ right) \ right] \ \ \ left [\ operatorname {cos} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) + j \ cdot \ operatorname {sin} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) \ right] & + \ izquierda [\ operatorname {cos} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) -j \ cdot \ operatorname {sin} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) \ right] \\ \ operatorname {cos} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) & + \ operatorname {cos} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) \\\\ & = 2 \ operatorname { cos} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) \ end {align *} $$
Obviamente, este equivalente es verdadero:
$$ \ operatorname {cos} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) = \ frac12 \ left [e ^ {j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} + e ^ {- j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} \ right] $$
Por lo tanto, esto significa que las dos primeras líneas del texto citado parecen correctas:
$$ \ begin {align *} v \ left (t \ right) & = V_m \: e ^ {\ sigma \, t} \ operatorname {cos} \ left (\ omega \, t + \ theta \ right) \\\\ & = \ frac12 V_m \: e ^ {\ sigma \, t} \ left [e ^ {j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} + e ^ {- j \ left (\ omega \ , t + \ theta \ right)} \ right] \ end {align *} $$
Ahora iré en pequeños pasos a continuación, así que no hay que confundir el álgebra simple involucrado:
$$ \ begin {align *} v \ left (t \ right) & = \ frac12 V_m \: e ^ {\ sigma \, t} \ left [e ^ {j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} + e ^ { -j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} \ right] \\\\ & = \ frac12 V_m \: e ^ {\ sigma \, t} \: e ^ {j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} + \ frac12 V_m \: e ^ {\ sigma \, t} \: e ^ {- j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} \\\\ & = \ frac12 V_m \: e ^ {\ sigma \, t + j \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} + \ frac12 V_m \: e ^ {\ sigma \, tj \ left (\ omega \, t + \ theta \ right)} \\\\ & = \ frac12 V_m \: e ^ {\ sigma \, t + j \, \ omega \, t + j \, \ theta} + \ frac12 V_m \: e ^ {\ sigma \, tj \, \ omega \, tj \, \ theta} \\\\ & = \ frac12 V_m \: e ^ {j \, \ theta} \: e ^ {\ sigma \, t + j \, \ omega \, t} + \ frac12 V_m \: e ^ {- j \, \ theta} \: e ^ {\ sigma \, tj \, \ omega \, t} \\\\ & = \ frac12 V_m \: e ^ {j \, \ theta} \: e ^ {\ left (\ sigma + j \, \ omega \ right) t} + \ frac12 V_m \: e ^ {- j \ , \ theta} \: e ^ {\ left (\ sigma-j \, \ omega \ right) t} \ end {align *} $$
Esto parece demasiado fácil. Entonces, ¿entendí mal tu pregunta?
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