Métodos de transformación z: definición frente a regla rectangular o regla de Tustin

\ $ \ small z ^ {- 1} \ $ es el operador de retardo en el dominio z, es decir, multiplicando la transformada z de una señal por < span class="math-container"> \ $ \ small z ^ {- 1} \ $ retrasa la señal en un incremento de tiempo. Por ejemplo, si \ $ \ small X (z) \ $ es la transformada z de la secuencia de pasos de la unidad:

$$ \ small X (z) = z ^ {0} + z ^ {- 1} + z ^ {- 2} + z ^ {- 3} .. . $$

entonces $$ \ small z ^ {- 1} X (z) = \: z ^ {- 1} + z ^ {- 2} + z ^ {- 3} ... $$ que es claramente el paso de la unidad retrasada (ya que \ $ \ small z ^ 0 = 1 \ $ )

Del mismo modo, multiplicar la transformada laplace de la unidad paso por \ $ \ small e ^ {- sT} \ $ retrasa el paso por \ $ \ small T \: sec \ $ en el dominio de tiempo. De ahí la relación: $$ \ small z ^ {- 1} \ leftrightarrow e ^ {- sT} \: \: o \: \: z \ leftrightarrow e ^ {sT} $$

Esta relación es útil para el mapeo polo-cero entre los dominios s, y z, por lo tanto, se puede usar para obtener un controlador digital a partir de un prototipo continuo de Laplace.

La transformada bilineal ('Tustin' o muchos otros nombres) es un método algebraico de hacer, esencialmente, lo mismo, pero con un rendimiento generalmente mejor en comparación con el mapeo polo-cero, invariante de impulsos, invariante de pasos, etc.

Se puede mostrar de manera muy simple que la función de integración z-transfer de primer orden (es decir, integración trapezoidal ) es $$ \ small \ frac {T } {2} \ frac {(z + 1)} {(z-1)} $$ y esto corresponde al operador de integración de Laplace: \ $ \ large \ frac {1} {s} \ $

Esto conduce a una sustitución algebraica muy conveniente (es decir, la transformada bilineal ): $$ \ small s \ leftrightarrow \ frac {2} {T} \ frac {(z-1)} {(z + 1)} $$

Tenga en cuenta que esta transformación conserva la ganancia de CC.

Por ejemplo, digamos que requerimos el equivalente digital del filtro de paso bajo: $$ \ small G (s) = \ frac {1} {3 + s} $$

dado un incremento de muestreo, \ $ \ small T = 0.1 \: sec \ $

$$ \ small G (s) = \ frac {Y (s)} {X (s)} = \ frac {1} {3 + s} \ rightarrow G ^ * (z) = \ frac {Y (z)} {X (z)} = \ frac {1} {3+ \ frac {20 (z-1)} {(z + 1)}} = \ frac {z + 1} {23z-17} = \ frac {0.043 + 0.043z ^ {- 1}} {1-0.739z ^ {- 1}} $$

El filtro digital se implementa por medio de la ecuación en diferencias: $$ \ small y (k) = 0.043 \ left (x (k) + x (k-1) \ right) + 0.739y (k-1) $$

Porque si usas una de esas reglas, puedes pasar de una proporción racional de polinomios en \ $ s \ $ a una proporción racional de polinomios en \ $ z \ $ . Esto te deja con un modelo de sistema en el que puedes usar todos los métodos de análisis existentes que funcionan con relaciones de polinomios, y te lleva a filtrar diseños que pueden realizarse con ecuaciones en diferencias.

  

¿Por qué se usan reglas como la regla rectangular hacia adelante o el método de Tustin en lugar de la definición?

Estas reglas se utilizan para diseñar un circuito digital (mejor: discreto en el tiempo) que se comporte casi como un circuito analógico ya conocido (mejor: continuo).

Ejemplo:

Tiene un circuito existente ("circuito antiguo") en el que se realiza un procesamiento de señales analógicas utilizando algún filtro \ $ G_1 (s) \ $ . Esta señal luego se convierte en una señal digital utilizando un convertidor analógico a digital (ADC).

Desea diseñar un nuevo circuito en el que el procesamiento se realice mediante un filtro digital ( \ $ G_2 (z) \ $ ) en lugar de uno analógico:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Por supuesto, las salidas del "circuito antiguo" y del "nuevo" deben ser idénticas (o al menos lo más similares posible).

El método de Tustin (y similar) no se utiliza para calcular \ $ G_2 (z) \ $ de \ $ G_ \ color {red} {2} (s) \ $ !

Tales métodos se utilizan para calcular algunos \ $ G_2 (z) \ $ de \ $ G_ \ color {rojo } {1} (s) \ $ de manera que tanto el "nuevo circuito" como el "circuito antiguo" tengan la misma salida.

¡Y simplemente usando \ $ G_2 (s) = G_1 (s) \ $ no se obtendrá el resultado correcto!

Piense en \ $ G_1 (s) = s \ $ :

Las entradas de los ADC serán señales analógicas y las salidas de los ADC serán funciones de pasos (*).

Si pasa una función de paso a un filtro \ $ G (s) = s \ $ (un diferenciador), obtendrá una serie de Dirac pulsa como salida del "nuevo circuito". Sin embargo, desea tener la misma salida que en el "circuito antiguo", que es una función escalonada.

Por lo tanto, usar \ $ G_1 (s) = G_2 (s) \ $ no conducirá al resultado correcto.

Usando el método de Tustin para calcular \ $ G_2 (z) \ $ de \ $ G_ \ color {red} { 1} (s) \ $ sin embargo, dará como resultado una salida del "nuevo circuito" que está cerca de la salida del "circuito antiguo".

(*) Algunas personas definen la salida de un ADC como una serie de pulsos de Dirac en lugar de una función de paso. En este caso, podría discutir con un integrador en lugar de con un diferenciador ...

  

Sí, pero estoy preguntando sobre las características de los métodos de transformación. Si transformo G (s) en G (z), ¿por qué usar la regla de Tustin o la regla rectangular hacia adelante en lugar de la definición?

Tenga en cuenta que normalmente nunca le interesa \ $ G_2 (s) \ $ en el caso de un filtro que procesa señales de tiempo discreto. Solo está interesado en \ $ G_2 (z) \ $ . Por lo tanto, no hay necesidad de una regla sobre cómo escribir \ $ G_2 (s) \ $ cuando \ $ G_2 (z) \ $ es conocido.

Sin embargo, en la mayoría de los casos, su señal digital representará una señal analógica. Ejemplo: una señal de audio.

En este caso, no está interesado en cómo algún filtro \ $ G_2 (z) \ $ influye en la señal digital. No estás interesado en la señal digital en absoluto. Está interesado en cómo este filtro influirá en la señal analógica al final (por ejemplo, la señal de audio que sale de los altavoces).

Por lo tanto, calcula un filtro analógico \ $ G_1 (s) \ $ que tendrá la misma influencia en la señal analógica que su filtro digital \ $ G_2 (z) \ $ tiene