Fourier vs. Laplace

La transformada de Fourier y Laplace no son lo mismo. En primer lugar, tenga en cuenta que cuando hablamos de la transformada de Laplace, muy a menudo nos referimos a la transformada de Laplace unilateral, donde las integrales de transformación comienzan en \ $ t = 0 \ $ (y no en \ $ t = - \ infty \ $) , es decir, con la transformada de Laplace usualmente analizamos señales y sistemas causales. Con la transformada de Fourier no siempre es así.

Para entender las diferencias entre los dos, es importante observar la región de convergencia (ROC) de la transformada de Laplace. Para señales causales, la ROC es siempre un plano medio derecho, es decir, no hay polos (de una función racional en \ $ s \ $) a la derecha de algún valor \ $ \ sigma_0 \ $ (donde \ $ \ sigma \ $ denota la parte real de la variable compleja \ $ s \ $). Ahora, si \ $ \ sigma_0 < 0 \ $, es decir, si el eje \ $ j \ omega \ $ está dentro del ROC, entonces simplemente obtiene la transformada de Fourier configurando \ $ s = j \ omega \ $. Si \ $ \ sigma_0 > 0 \ $ entonces la transformación de Fourier no existe (porque el sistema correspondiente es inestable). El tercer caso (\ $ \ sigma_0 = 0 \ $) es interesante porque aquí existe la transformada de Fourier pero no se puede obtener de la transformada de Laplace configurando \ $ s = j \ omega \ $. Su ejemplo es de este tipo. La transformada de Laplace de la función de paso tiene un polo en \ $ s = 0 \ $, que se encuentra en el eje \ $ j \ omega \ $. En todos estos casos, la transformación de Fourier tiene impulsos \ $ \ delta \ $ adicionales en las ubicaciones de los polos en el eje \ $ j \ omega \ $.

Tenga en cuenta que no es cierto que la transformación de Fourier no pueda hacer frente a los transitorios. Esto es solo un malentendido que probablemente se debe al hecho de que a menudo usamos la transformada de Fourier para analizar el comportamiento en estado estable de los sistemas mediante la aplicación de señales de entrada sinusoidales que se definen para \ $ - \ infty < t < \ infty \ $. Consulte también esta respuesta para una pregunta similar.

Bien, entonces golpeas una caja negra hecha de componentes de RLC y mides la respuesta, la respuesta de impulso. Ahora desea conocer la respuesta de frecuencia, es decir, la respuesta a cualquier sinusoidal.

En primer lugar, realmente no puedes excitar tu sistema con un sinusoidal puro. Es demasiado tarde, deberías haber empezado en el Big Bang. Lo mejor que puede hacer es usar un sinusoidal causal, que tiene componentes de frecuencia adicionales.

Pero digamos que lo que desea saber es la respuesta del sistema a una entrada arbitraria en el dominio del tiempo. Realmente no necesitas a Fourier o Laplace para saber esto. Una convolución servirá.

¿Qué tienes en la mano, de verdad? Mediste la respuesta al impulso. De alguna manera lo trazó, digamos continuamente, a diferencia de un ADC que muestreaba la señal, que suele ser lo que sucede, y en su lugar estaría preguntando acerca de la transformada Z frente a la FFT. Supongamos también que el golpe que le diste fue un buen delta: fuerte pero corto.

Dado que su sistema es RLC, es lineal, de modo que los principios de superposición funcionan (de todos modos no estaríamos hablando de esto). Cualquier entrada se puede construir agregando impulsos atenuados compensados en el tiempo (más o menos, es una cosa límite). Así que la respuesta total es simplemente sumar todas estas respuestas individuales juntas. Esta adición es exactamente lo que hace la entrada de convolución (t) * impulseResponse (t). Podría considerar el sistema RLC como un "convoluter de hardware". Esta es probablemente la forma más precisa de predecir una respuesta a una entrada arbitraria.

Ahora quiero aclarar algo, que es cómo Laplace se relaciona con Fourier. Nuestro dominio son funciones causales, ya que no tiene sentido comparar el Laplace unilateral con Fourier de lo contrario. Además, todas las señales reales son causales. Matemáticamente, la transformada de Laplace es solo la transformada de Fourier de la función previamente multiplicada por un exponencial en descomposición. Es así de simple. Entonces, si una transformada de Fourier no existe porque las integrales son infinitas, Laplace todavía puede existir si la exponencial decadente es lo suficientemente fuerte, porque la intergral de la función 'atenuada' convergería. Desde un punto de vista matemático, esto puede ser extremadamente útil en ciertos casos.

Pero lo que realmente puede querer es hacer un sistema de control para su planta. En ese caso, lo que hace es inspeccionar la respuesta y luego aproximarla con un modelo de primer o segundo orden más un retraso de grupo. Así que no será exacto, pero al hacer esto, se deshacen de todos los pequeños detalles de la respuesta real y se obtiene la enorme ventaja de poder conectar este modelo a las ecuaciones y algoritmos de control, así como a docenas de libros con conocimientos sobre teoría de control. y diseñar y simular su sistema de control. En ese caso, utilizarías un modelo de Laplace, ya que obtienes polos y ceros inmediatamente que pueden usarse para el análisis de estabilidad.