Veo muchos ejemplos que dicen que la caída de un circuito RC de un solo polo es de -6dB / octava o -20 / década. Puedo ver que la respuesta de frecuencia de un filtro de paso bajo de RC muestra esto, pero ¿hay alguna prueba matemática de por qué es -6dB / octava?
¡Tal vez sea fácil y lo estoy complicando!
Si Vout / Vin = R / [R ^ 2 + (1 / w ^ 2 * c ^ 2)] ^ 0.5, entonces hay algún cálculo que muestra cuando w se convierte en (2w), entonces Vout / Vin Ser más bajo en alrededor de 6dB?
La relación de salida / entrada para un RC de paso bajo es: -
\ $ \ dfrac {1} {1 + j \ omega RC} \ $
Y una vez que superas significativamente el umbral de 3dB, tiende a convertirse en esto: -
\ $ \ dfrac {1} {j \ omega RC} \ $
En otras palabras, una duplicación de la frecuencia (\ $ \ omega \ $) significa una reducción a la mitad de la amplitud de salida y, por supuesto, la duplicación de la frecuencia es un aumento de 1 octava y una reducción de la mitad a la mitad es una atenuación de 6 dB, por lo tanto es de 6 dB por octava .
La reducción es la consecuencia de cómo se comporta una función de la forma \ $ \ frac {1} {1 + s} \ $ a medida que aumenta la frecuencia. \ $ s \ $ es una variable compleja, y el dominio de frecuencia está en el eje imaginario positivo, en otras palabras, sustituimos a \ $ s = j \ omega \ $ para obtener \ $ \ frac {1} {1 + i \ omega } \ $, y considerando valores positivos de \ $ \ omega \ $.
La amplitud es el módulo: \ $ \ left | \ frac {1} {1 + j \ omega} \ right | \ $, y los decibelios son 20 veces el registro base 10 de eso.
El módulo de un valor complejo es la raíz cuadrada del producto y su conjugado complejo: \ $ | z | = \ sqrt {z \ bar z} \ $. Así:
$$ \ left | \ frac {1} {1 + i \ omega} \ right | = \ sqrt {\ frac {1} {\ left (1 + j \ omega \ right) \ left (1 - j \ omega \ right)}} = \ sqrt {\ frac {1} {1 + w ^ 2} } $$
Para valores grandes de \ $ \ omega \ $, eso solo se reduce a aproximadamente \ $ \ displaystyle \ frac {1} {w} \ $, ya que el interior de la raíz cuadrada se reduce a aproximadamente \ $ \ displaystyle \ frac {1} {w ^ 2} \ $.
Por supuesto, \ $ \ displaystyle \ frac {1} {w} \ $ se reduce a la mitad con cada duplicación de frecuencia, que es aproximadamente una caída de -6db.
Así que todo se reduce a la tasa de contracción de un polinomio de n grados a medida que la variable independiente crece. El primer pedido es \ $ 1 / x \ $: la amplitud se corta en la mitad de cada octava, por lo tanto, -6db. El segundo pedido es \ $ 1 / x ^ 2 \ $: los cortes de amplitud son cuatro veces cada octava, por lo tanto -12dB.
"Orden" es el orden del polinomio en el denominador. Un polinomio de orden n en el denominador da lugar a n polos, de modo que ahí es donde obtenemos "un filtro polo", "dos polos", etc.
pero ¿hay alguna prueba matemática de por qué es -6dB / octava?
Para las relaciones de voltaje en dB, tenemos:
$$ (\ frac {V_o} {V_i}) _ {db} = 20 \ log \ frac {V_o} {V_i} $$
Ahora, considera la función
$$ f (\ omega) = 20 \ log \ frac {1} {\ omega} $$
Cuando \ $ \ omega \ $ está duplicado , \ $ f (\ omega) \ $ disminuye en
$$ 20 \ log \ frac {1} {2} = -6dB $$
Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que si la respuesta de frecuencia de un filtro es inversamente proporcional a la frecuencia, la respuesta disminuye a la velocidad de \ $ - 6dB \ $ por octava.
Ahora, para un filtro de paso bajo de primer orden, tenemos
$$ \ frac {V_o} {V_i} = \ frac {1} {1 + j \ frac {\ omega} {\ omega_0}} $$
Para \ $ \ omega \ $ mucho más grande que \ $ \ omega_0 \ $, tenemos
$$ \ frac {V_o} {V_i} \ approx \ frac {1} {j \ frac {\ omega} {\ omega_0}} \ propto \ frac {1} {\ omega} $$
Por lo tanto, muy por encima de la frecuencia de la esquina, la respuesta de frecuencia es inversamente proporcional a la frecuencia que se requiere para un roll-off \ $ - 6dB \ $.
Lea otras preguntas en las etiquetas capacitor resistors circuit-analysis