Respuesta de frecuencia de un circuito complejo

Aquí hay un intento de encontrar una solución analítica (y cómo se pone fea):

Sin ningún RC (fácil)

$$ R_0 = R_1 + R_2 $$

Con un RC (usando Z para impedancia de ahora en adelante)

$$ Z_1 = R_1 + X + R_2 $$

con

$$ X = R || Z_c = \ frac {R \ times Z_c} {R + Z_c} $$

y

$$ Z_c = \ frac {1} {j \ omega C} $$

Con dos RCs + \ $ R_1 \ $ y \ $ R_2 \ $ adicionales (ahora se pone feo)

$$ Z_2 = R_1 + (X + R_2) ~ || ~ (R_1 + X) + R_2 $$

El problema con tales circuitos es que las cosas se agregan en paralelo y en fila, lo que generalmente no se simplifica fácilmente.

Esto se convierte en un problema en el siguiente paso al agregar un tercer RC (se está poniendo muy feo ahora). \ $ R_2 \ $ está en fila, pero \ $ R_1 + X \ $ está en paralelo (bueno, parcialmente, al menos). En el núcleo del problema, tienes dos triángulos que comparten un borde.

Lo interesante (bueno como "hace que las cosas muy feas sean posibles, no más hermosas") es que puedes convertir triángulos en estrellas

Echa un vistazo a esta imagen y tu esquema:

[imagendeaquí: enlace ]

El objetivo es convertir el lado derecho (triángulo) del circuito en una estrella. La imagen corresponde de la siguiente manera a su esquema:

$$ R_b = X ~ (el ~ uno ~ en ~ el ~ medio) $$

$$ R_a = R_1 + X ~ (el ~ right ~ most ~ R_1 ~ y ~ the ~ rightmost ~ X) $$

$$ R_c = R_2 ~ (la ~ middle ~ one ~) $$

Después de la conversión, la Z es más simple para calcular. Para evitar la confusión con los índices, agrego el término "triángulo" a cada índice 1,2,3 que corresponde a los de la imagen de arriba.

$$ Z_3 = R_1 + (R_1 + R_ {3, triángulo}) ~ || ~ (X + R_2 + R_ {1, triángulo}) + R_ {2, triángulo} + R_2 $$

Con esas fórmulas (de acuerdo con el artículo de wikipedia anterior) $$ R_ {1, triángulo} = \ frac {X R_2} {R_ {suma} $$ $$ R_ {2, triángulo} = \ frac {(R_1 + X) R_2} {R_ {suma}} $$ $$ R_ {3, triángulo} = \ frac {(R_1 + X) X} {R_ {suma}} $$ $$ R_ {suma} = X + R_1 + X + R_2 = R_1 + R_2 + 2X $$

obtienes $$ Z_3 = R_1 + \ left (R_1 + \ frac {(R_1 + X) X} {R_ {suma}} \ right) ~ || ~ \ left (X + R_2 + \ frac {X R_2} {R_ { suma}} \ derecha) + \ frac {(R_1 + X) R_2} {R_ {suma}} + R_2 $$

No debería sorprender en este punto que \ $ Z_4 \ $ no será más bonito. Este no es el camino a seguir si su objetivo es una fórmula para \ $ Z_n \ $

Para obtener una fórmula \ $ Z_n \ $, desea emplear estrategias más sistemáticas de análisis de red. Echa un vistazo a análisis de malla (n + 1 significa agregar otra malla) y / o dos teorías de puertos (n + 1 significa agregar otros dos puertos a la cadena).

Estoy un poco oxidado con respecto a eso, pero espero que sean un punto de partida para ti.

Ha pasado demasiado tiempo desde que resolví problemas de este tipo, pero me trae buenos recuerdos. Por lo tanto:

Para una solución analítica, intente dibujar este circuito en más de una configuración en estrella y vea si ve algo (maneje la combinación RC simplemente como una impedancia compleja Z y piense en todo como una resistencia compleja para no confundirse).

¿Ves algo? Si no, intente aplicar una transformación Y-para ver si termina obteniendo algo más aceptable.

¿Todavía nada? Kirchhoff es tu amigo. La Ley de Corriente y la Ley de Voltaje de Kirchhoff le permitirán indicar algunas de las propiedades del circuito en forma de ecuación. Los voltajes a lo largo de cualquier circuito cerrado se suman a cero, al igual que las corrientes que entran y salen de cualquier nodo.

La solución está en algún lugar a lo largo de este camino.

Para simularlo, hackearía un script que toma n como parámetro además de R1, R2, R y C y genera el circuito. Entonces aliméntalo en tu simulador. Pruebe algunos valores de n y observe si algo converge.

Escribí un programa para resolver esto después de que una de las respuestas anteriores me convenció de que funcionaría.

(En estos esquemas, estoy dibujando resistencias para representar impedancias complejas. También estoy combinando la resistencia y el condensador en un bloque como $$ Z_ {RC} = \ frac {1} {j \ omega C} \ big | \ big | R $$ .)

Si mantenemos un total acumulado de la impedancia, podemos comenzar eliminando \ $ R_1 \ $ y \ $ R_2 \ $ de los extremos. Entonces, el circuito es

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

El bloque más a la izquierda se ve como

^{simular este circuito}

donde $$ Z_ {arriba} = R_1 $$$$ Z_ {abajo} = Z_ {RC} + R_2 $$ Desde la transformación Y - \ $ \ Delta \ $, esto se puede cambiar a

^{simular este circuito}

para que podamos agregar \ $ Z_A \ $ a la impedancia total y establecer $$ Z_ {arriba} = Z_B + R_1 $$ $$ Z_ {abajo} = Z_C + R_2 $$ lo que nos regresa al circuito original con una sucursal \ $ Z_ {RC} \ $ menos. Este proceso puede continuar hasta que lleguemos a la última rama:

^{simular este circuito}

donde podemos agregar \ $ (Z_ {arriba} + Z_ {RC}) || Z_ {bottom} \ $ a la impedancia. Parece que este procedimiento me está dando respuestas numéricas correctas, pero no puedo imaginarme obtener una buena fórmula simbólica de ello.