Encontrar el período fundamental de una señal de tiempo discreto

Una frecuencia es el doble que la otra y dado que las dos frecuencias se multiplican, se obtienen frecuencias de suma y diferencia en el resultado: -

Por lo tanto, la forma de onda adopta el período de la frecuencia más baja porque: -

\ $ \ dfrac {\ pi} {2} n - \ dfrac {\ pi} {4} n = \ dfrac {\ pi} {4} n \ $

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Un extracto de esa publicación:

  

Si \ $ p \ $ y \ $ q \ $ son períodos de \ $ f (x) \ $ y \ $ g (x) \ $ respectivamente, entonces cualquier múltiplo común de \ $ p \ $ y \ $ q \ $ es un período de \ $ H (f (x), g (x)) \ $ para cualquier función \ $ H (u, v) \ $, en particular cuando \ $ H \ $ es adición y cuando \ $ H \ $ es multiplicación. Así que el mínimo común de \ $ p \ $ y \ $ q \ $, si existe, es un período de \ $ H (f (x), g (x)) \ $. Sin embargo, no es necesario que sea el período más pequeño.

Es sencillo demostrar esto: si \ $ f (x + N) = f (x) \ $ y si \ $ g (x + N) = g (x) \ $, entonces

$$ H \ bigl ((f (x + N) g (x + N) \ bigr) = H \ bigl (f (x) g (x) \ bigr), $$

si tal \ $ N \ $ existe.

Los períodos de las dos funciones son \ $ p = 4 \ $ y \ $ q = 8 \ $, y su múltiplo común es \ $ N = 8 \ $, por lo que ese es el período fundamental de su señal de tiempo discreto \ $ x [n] \ $.

Aquí está el código MATLAB para generar gráficos.

n = 0:48;
f = cos(pi/2*n);
g = cos(pi/4*n);

figure(1);
clf;

h1 = subplot(6,2,1);
stem(n,f); grid on;

h2 = subplot(6,2,3);
stem(n,g); grid on;

h3 = subplot(6,2,5);
stem(n,f.*g); grid on;

set([h1,h2,h3], 'XLim', [0,48], 'XTick', 0:4:48);

Aquí están los gráficos generados.

De arriba a abajo: \ $ \ cos (\ frac {\ pi} {2} n) \ $, \ $ \ cos (\ frac {\ pi} {4} n) \ $, y \ $ \ cos (\ frac {\ pi} {2} n) \ cos (\ frac {\ pi} {4} n) \ $: