¿Ruido de corriente térmica infinita en un cable?

Esto parece un poco feo, pero tal vez si pensamos un poco más acerca de lo que es un cable de resistencia cero, podemos averiguar por qué no obtendremos algo físicamente poco realista.

Superconductores

Una forma de obtener una resistencia cero sería usar superconductores. Estos son materiales muy raros: tienen enormes efectos cuánticos, pero la teoría del ruido de Johnson-Nyquist que está utilizando en su pregunta es semi-clásica, por lo que es razonable esperar que no funcione cuando ocurren muchas cosas cuánticas.

De hecho, en un superconductor, hay dos "fluidos" conductores que comparten el mismo espacio. Uno, el fluido normal, está hecho de electrones y actúa como electrones en un material normal. Esto tendrá fluctuaciones térmicas como las que causan el ruido de Johnson Nyquist. El otro, llamado superfluido, está hecho de pares de cobre y tiene resistencia cero. Por lo tanto, cortará el voltaje o la corriente externa (lo que convierte a los superconductores en conductores perfectos). Pero también cortará el voltaje de ruido del fluido normal. Todas las fluctuaciones térmicas en el material se cancelarán inmediata y completamente por un movimiento en el superfluido, por lo que no habrá ruido de Johnson-Nyquist. Puede que haya otro ruido, pero ese es otro tema.

No superconductores

Eso nos deja haciendo un cable de resistencia cero a partir de materiales normales, lo que por supuesto es imposible. Entonces, el problema no es que la corriente sea infinita, sino que tiende a infinito a medida que reducimos la resistencia. Para ver si eso tiene sentido, tenemos que pensar qué significa realmente reducir la resistencia a cero.

La resistencia de un bloque de material es una constante dependiente del material multiplicada por la longitud dividida por el área de la sección transversal. Las dos formas de obtener resistencia cero son entonces:

1. Para aumentar el área hasta el infinito. Tener una corriente de ruido infinita en un área infinita parece razonable, la densidad de corriente es la misma que lo sería para un bloque finito de material.

2. Para reducir la longitud a cero. Este es un poco más complicado, y no estoy seguro de que mi solución sea correcta. Pero creo que esto se reduce a una cuestión de geometría. Si la circunferencia del bucle tiende a cero, entonces el grosor del cable también debe tender a cero, o ya no es un bucle de alambre. Esto significa que hay una resistencia mínima, donde puede aplicar razonablemente el teorema de Johnson-Nyquist. Más allá de eso, tiene una placa de cobre con un agujero, y tendría que analizar eso de manera diferente. Existe un subcampo completo de física llamado electrodinámica fluctuante y probablemente encuentre la respuesta detallada en algún lugar allí.

  

¡Esto parece extraño! Entiendo que la potencia de ruido final no depende de la resistencia, pero aún así, la densidad de ruido infinita parece absurda.

No, no es extraño ni absurdo porque estás dividiendo 0 por 0:

Obtienes potencia de la corriente al cuadrar y multiplicar por R, así que obtienes una R en el numerador y otra en el denominador y ambas cancelan:

\ $ \ require {cancel} P = \ Delta f (nd_I) ^ 2R = \ Delta f \ sqrt {\ frac {k_B T} {R}} ^ 2 R = \ Delta f \ frac {k_B T} {\ cancel {R}} \ cancel {R} = \ Delta fk_BT \ $
Que es independiente de R.

Entonces, incluso si la densidad de ruido actual es infinita, la potencia de ruido no lo es.

  

la densidad de ruido todavía infinita parece absurda.

Estás asumiendo que \ $ R = 0 \ $, lo cual es igual de absurdo. Pero sí, si tienes el menor voltaje en un sistema sin resistencia, obtienes una corriente infinita. Ohm.

Sin embargo, la fórmula de ruido térmico en realidad se deriva a través del caso de voltaje (es decir, se obtiene una fluctuación en el nivel de energía de las cargas (electrones), y estos son observables como fluctuaciones de voltaje). Entonces, en un superconductor, esa forma de ver el ruido térmico se rompe.

Parece extraño. ¡De hecho está mal! Jack B hizo el punto crucial : el ruido Johnson-Nyqvist es un modelo semiclásico, es decir, es una aproximación simplificada que funciona bien en el límite de sistemas a gran escala (es decir, algo más que un par de cientos de átomos) a alta temperatura (que en física de estado sólido significa aproximadamente, no enfriado con helio líquido ). Es en estas condiciones que el comportamiento medible "parece clásico", porque las fluctuaciones térmicas destruyen la coherencia de fase que sería necesaria para que se presenten los fenómenos cuánticos macroscópicos, como la superconductividad o el efecto Hall cuántico. Sucede que en la electrónica, básicamente, siempre trabajamos en este régimen clásico por razones prácticas obvias.

Pero las mismas fluctuaciones térmicas (colisiones de fonones) inevitablemente también causan cierta resistividad distinta de cero. Por lo tanto, solo puede tomar el límite \ $ R = \ tfrac {\ rho \ cdot \ ell} {A} \ a 0 \ $ haciendo que la sección transversal \ $ A \ $ sea infinitamente grande (en cuyo caso, como Jack) dicho, es completamente razonable que las corrientes se vuelvan infinitas también, al igual que la masa y todo lo demás) o reduciendo la longitud \ $ \ ell \ $ a virtualmente cero, en cuyo caso no tiene el sistema a gran escala que es necesario para la descripción semiclásica.

Lea sobre la catástrofe ultravioleta , que es una paradoja en su mayoría análoga en términos de energía de radiación y de hecho fue una de los incentivos para desarrollar la teoría de la mecánica cuántica en primer lugar, ya que la física clásica evidentemente dio resultados falsos.