Ganancia del filtro paso alto y ganancia del filtro Sallen-Key

La ganancia es Vout / Vin. Usando la teoría del amplificador operacional ideal y usando impedancias, calcule Vout / Vin. Las capacitancias se convierten en 1 / Cs.

Para el filtro de paso alto, obtendrías algo como esto: $$ I_2 = \ frac {V_ {mid} -V_ {out}} {R_2} $$ $$ I_1 = \ frac {V_ {in} -V_ {mid}} {\ frac {1} {C_1s}} $$
$$ I_3 = \ frac {V_ {mid} -V_ {out}} {\ frac {1} {C_3s}} $$ # Vout debido a que las entradas del op-amp son iguales.
$$ I_4 = \ frac {V_ {out}} {R_4} $$ $$ I_1 = I_2 + I_3 $$ $$ I_3 = I_4 $$ Usando la información anterior, ahora debería poder resolver Vout / Vin, que es su ganancia. Repita lo mismo para el siguiente filtro.

Usando I3 = I4:
$$ \ frac {V_ {out}} {R_4} = \ frac {V_ {mid} -V_ {out}} {\ frac {1} {C_3s}} $$ $$ V_ {out} = (V_ {mid} - V_ {out}) R_4C_3s $$
$$ V_ {out} (1 + R_4C_3s) = V_ {mid} R_4C_3s $$ $$ V_ {out} = V_ {mid} R_4C_3s / (1 + R_4C_3s) $$ $$ V_ {mid} = V_ {out} (1 + R_4C_3s) / (R_4C_3s) $$

Usando I1 = I2 + I3:
$$ \ frac {V_ {in} -V_ {mid}} {\ frac {1} {C_1s}} = \ frac {V_ {mid} -V_ {out}} {R_2} + \ frac {V_ {mid} -V_ {out}} {\ frac {1} {C_3s}} $$ $$ V_ {in} C_1s = V_ {mid} (\ frac {1} {R_2} + C_1s + C_3s) - V_ {out} (C_3s + \ frac {1} {R_2}) $$ $$ V_ {mid} = \ frac {V_ {in} C_1s + V_ {out} (C_3s + \ frac {1} {R_2})} {\ frac {1} {R_2} + C_1s + C_3s} $$

Combina las ecuaciones superior e inferior:
$$ V_ {out} \ frac {1 + R_4C_3s} {R_4C_3s} = \ frac {V_ {in} C_1s + V_ {out} (C_3s + 1 / R_2)} {1 / R_2 + C_1s + C_3s} $$ $$ V_ {out} (\ frac {1} {R_4C_3s} +1 - \ frac {C_3s + 1 / R_2} {1 / R_2 + C_1s + C_3s}) = V_ {in} \ frac {C_1s} {1 / R_2 + C_1s + C_3s} $$ $$ Ganancia = \ frac {V_ {out}} {V_ {in}} = \ frac {\ frac {C_1s} {1 / R_2 + C_1s + C_3s}} {\ frac {1} {R_4C_3s} +1 - \ frac {C_3s + 1 / R_2} {1 / R_2 + C_1s + C_3s}} $$

$$ \ frac {\ frac {C_1s (R_4C_3s)} {X}} {1 + R_4C_3s-R_4C_3s \ frac {C_3s + 1 / R_2} {X}} $$

$$ \ frac {C_1s (R_4C_3s)} {X + (R_4C_3s) X-R_4C_3s (C_3s + 1 / R_2)} $$

$$ \ frac {C_1sR_4C_3s} {(1 / R_2 + C_1s + C_3s) (1 + R_4C_3s) -R_4C_3s (C_3s + 1 / R_2)} $$ $$ \ frac {C_1sR_4C_3s} {1 / R_2 + C_1s + C_3s + R_4C_3s / R_2 + C_1sR_4C_3s + R_4C_3 ^ 2s ^ 2-R_4C_3 ^ 2s ^ 2-R_4C_3s / R_2} $$ \ frac {C_1sR_4C_3s} {1 / R_2 + C_1s + C_3s + C_1sR_4C_3s} $$ $$ \ frac {R_4C_1C_3s ^ 2} {R_4C_1C_3s ^ 2 + (C_1 + C_3) s + 1 / R_2} $$

No garantizo que no haya cometido un error tipográfico en alguna parte, pero esto debería ponerlo en el camino correcto. Una vez que determinas las corrientes / voltajes básicos, es como cualquier otro circuito en el que solo sea una gran cantidad de álgebra.

Cada filtro es un filtro de ganancia de unidad de Sallen Key.

Puedes ver que son ganancia unitaria de la retroalimentación directa entre la salida del amplificador operacional y la entrada inversora, que configura el operoam para la operación de ganancia unitaria.

El de arriba es el paso alto. El de abajo es el paso bajo.

Si estás calculando la ganancia de CC de los filtros ... entonces eso es bastante simple.

Los condensadores son circuitos abiertos (desconectados) en DC. Desde allí, vemos que solo tenemos R1 + R2 en el terminal "Plus" del OpAmp (por lo tanto, hay un divisor de voltaje entre la "impedancia de entrada" interna), y tenemos la salida en corto al terminal de retroalimentación negativa.

Por lo tanto, debería ser algo parecido a un amplificador de ganancia unitaria en DC.

Para el filtro de paso alto, los condensadores tienen cortocircuitos a una frecuencia infinita. Vuelva a seguir la lógica y veremos que OpAmp es una vez más un amplificador de ganancia unitaria a una frecuencia infinita.

En la práctica, este no es el caso porque todos los OpAmps tienen un ancho de banda limitado ... pero suponiendo "componentes teóricos perfectos", así es como se hacen las cosas.