Alguna confusión sobre la respuesta al impulso

La respuesta está en su pregunta: estamos hablando de los sistemas Linear Time-Invariant . Sus propiedades son la linealidad y la invariancia del tiempo.

Linearity

$$ \ text {if} x_1 (t) \ text {produce} y_1 (t) \ text {y} x_2 (t) \ text {produce} y_2 (t) \\ \ textbf {then} \\ \ alpha \ cdot x_1 (t) + \ beta \ cdot x_2 (t) \ text {produce} \ alpha \ cdot y_1 (t) + \ beta \ cdot y_2 (t) \\ \ forall \ \ alpha, \ \ beta \ in \ mathbb {R} $$

Invarianza en el tiempo

$$ \ text {if} x (t) \ text {produce} y (t) \\ \ textbf {then} \\ x (t + \ tau) \ text {produce} y (t + \ tau) \\ \ forall \ \ tau \ in \ mathbb {R} $$

Entonces, si conoce la respuesta al impulso y la llama \ $ h (t) \ rightleftharpoons H (f) \ $, está claro que para una entrada arbitraria, si puede expresarlo como una suma de impulsos retardados , la salida será una suma de respuestas de impulsos retrasados.

  

Mi pregunta es que puedo decir para cada sistema LTI específico, el   ¿La función de respuesta al impulso se corrige debido a la naturaleza de este sistema?

Esto es un poco sutil pero un sistema no LTI no tiene una respuesta de impulso \ $ h (t) \ $ (o un \ $ h [n] \ $ para sistemas de tiempo discreto) .

Si el sistema es lineal pero no invariante en el tiempo y la entrada es un impulso retardado \ $ \ delta (t - \ tau) \ $, la salida \ $ h (t, \ tau) \ $ es una función de \ $ t \ $ y \ $ \ tau \ $.

Por ejemplo, considere el sistema definido por

$$ y (t) = u (t) x (t) $$

Para \ $ t \ lt 0 \ $, la salida del sistema es cero independientemente de la entrada. Para \ $ t \ gt 0 \ $, la salida del sistema es idéntica a la entrada.

Claramente, este sistema no es invariante en el tiempo. Si la entrada es \ $ x (t - \ tau) \ $, la salida es

$$ y (t, \ tau) = u (t) x (t - \ tau) $$

pero

$$ y (t - \ tau) = u (t - \ tau) x (t - \ tau) \ ne y (t, \ tau) $$

por lo que la salida debida a una entrada retrasada es no igual a la versión demorada de la salida de una entrada sin demora.

No podemos hablar significativamente de un respuesta de impulso para este sistema ya que, para un impulso anterior a \ $ t = 0 \ $, la salida es cero mientras que para un impulso posterior a \ $ t = 0 \ $, la salida es un impulso.

Del mismo modo, no podemos hablar de manera significativa de una respuesta de frecuencia para este sistema de variante de tiempo.

La transformada de Fourier del sistema es

$$ Y (j \ omega) = \ frac {1} {j \ omega} \ ast X (j \ omega) + \ pi X (j \ omega) $$

que claramente no es de la forma

$$ Y (j \ omega) = H (j \ omega) X (j \ omega) $$

según sea necesario para que exista una función de transferencia (o respuesta de frecuencia) para el sistema.

Todo lo anterior es simplemente para mostrar que un sistema LTI tiene una respuesta de impulso y sistemas de variante de tiempo no.

Tienes razón en que un sistema LTI está completamente caracterizado por su respuesta al impulso. Permítame mostrarle esto para el caso de tiempo discreto al que se refiere (lo mismo se aplica, por supuesto, también para el caso de tiempo continuo):

Cualquier secuencia de entrada se puede escribir como una suma de impulsos desplazados y ponderados: $$ x (n) = \ sum_kx (k) \ delta (n-k) \ tag {1} $$

Si \ $ h (n) \ $ es la respuesta al impulso \ $ x (n) = \ delta (n) \ $, entonces, debido a la invariancia de tiempo, \ $ h (nk) \ $ es la respuesta a un impulso desplazado \ $ \ delta (nk) \ $. Además, debido a la linealidad, la respuesta a la suma ponderada (1) viene dada por la suma ponderada de las respuestas individuales a los impulsos \ $ \ delta (n-k) \ $. En consecuencia, la respuesta a cualquier secuencia de entrada \ $ x (n) \ $ es

$$ y (n) = \ sum_kx (k) h (n-k) \ tag {2} $$

donde (2) es la convolución de la señal de entrada con la respuesta de impulso. De (2) está claro que la respuesta de impulso \ $ h (n) \ $ caracteriza completamente el sistema, porque la respuesta a cualquier entrada \ $ x (n) \ $ se puede calcular mediante la suma de convolución (2).