La superposición solo se aplica cuando tienes un sistema puramente lineal, es decir:
\ begin {align *}
F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \\
F (a x) & = a F (x)
\ end {align *}
En el contexto del análisis de circuitos, el circuito debe estar compuesto de elementos lineales (condensadores, inductores, transformadores lineales y resistencias) con N fuentes independientes, y lo que está resolviendo debe ser voltajes o corrientes. Tenga en cuenta que puede tomar una solución superimpuesta a voltaje / corriente para encontrar otras cantidades que no sean lineales (por ejemplo, potencia disipada en una resistencia), pero no puede superponer (agregar) cantidades no lineales para encontrar la solución para una mayor sistema.
Por ejemplo, tomemos un solo resistor y observemos la ley de Ohm (estoy usando U y J para voltaje / corriente respectivamente, sin ninguna razón en particular) y veamos cómo la corriente aportada desde source \ $ i \ $ afecta el voltaje:
\ begin {align *}
U = J R = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ N R J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i
\ end {align *}
Así que puedo encontrar el voltaje a través de una resistencia al resumir la contribución actual de cada fuente independiente de cualquier otra fuente. Del mismo modo, para encontrar la corriente que fluye a través de la resistencia:
\ begin {align *}
J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i
\ end {align *}
Sin embargo, si comienzo a mirar el poder, la superposición ya no se aplica:
\ begin {align *}
P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i
\ end {align *}
El proceso general para resolver un circuito usando superposición es:
- Para cada fuente \ $ i \ $, reemplace todas las demás fuentes con su fuente nula equivalente, es decir, las fuentes de voltaje se convierten en 0V (cortocircuitos) y las fuentes de corriente se convierten en 0A (circuitos abiertos). Encuentre la solución \ $ F_i \ $ para cualquier incógnita en la que esté interesado.
- La solución final es la suma de todas las soluciones \ $ F_i \ $.
Ejemplo 1
Toma este circuito con dos fuentes:
simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab
Quiero resolver el J actual que fluye a través de R1.
Elija V1 como fuente 1 e I1 como fuente 2.
Resolviendo para \ $ J_1 \ $, el circuito se convierte en:
simular este circuito
Así que sabemos que \ $ J_1 = 0 \ $.
Ahora, al resolver \ $ J_2 \ $, el circuito se convierte en:
simular este circuito
Para que podamos encontrar que \ $ J_2 = I_1 \ $.
aplicando superposicion,
\ begin {align *}
J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1
\ end {align *}
Ejemplo 2
simular este circuito
Ahora estoy interesado en la corriente a través de R4 \ $ J \ $. Siguiendo el proceso general descrito anteriormente, si denoto V1 como fuente 1, V2 como fuente 2 e I1 como fuente 3, puedo encontrar:
\ begin {align *}
J_1 & = - \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\
J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\
J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5}
\ end {align *}
Así, la solución final es:
\ begin {align *}
J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 - V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} - I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} =
\ frac {(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5}
\ end {align *}
El poder de la superposición proviene de la pregunta "¿qué sucede si deseo agregar / eliminar una fuente?" Digamos, quiero agregar una fuente actual I2:
simular este circuito
En lugar de volver a empezar desde el principio, lo único que debo hacer ahora es encontrar la solución para mi nueva fuente I2 y agregarla a mi solución anterior:
\ begin {align *}
J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\
J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i =
\ frac {(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5}
\ end {align *}