Función de transferencia de R y C paralelas

Editar: Para responder a su pregunta de manera más completa, el paso que ha omitido para completar la función de transferencia es sustituir en el elemento del circuito las impedancias de los componentes del circuito. Además, usted calculó la impedancia paralela de \ $ R_2 \ $ y \ $ C \ $ incorrectamente.

Para encontrar la función de transferencia \ $ H (s) \ $ de este circuito, usamos la regla del divisor de voltaje, es decir: \ begin {equation} H (s) = \ frac {U_ {out}} {U_ {in}} (s) = \ frac {Z_2} {Z_1 + Z_2} \ end {ecuación} dónde, \ begin {equation} Z_2 = R_2 || \ frac {1} {sC} \ qquad Z_1 = R_1 \ end {ecuación} así que ahora tenemos, \ begin {equation} Z_2 = \ left (\ frac {1} {R_2} + sC \ right) ^ {- 1} = \ left (\ frac {sCR_2 + 1} {R_2} \ right) ^ {- 1} = \ frac {R_2 } {sCR_2 + 1}. \ end {ecuación}

Desde aquí podemos derivar la función de transferencia usando la regla del divisor de voltaje establecida anteriormente, sustituyendo las impedancias por \ $ Z_1 \ $ y \ $ Z_2 \ $, \ begin {equation} \ begin {split} H (s) & = \ frac {\ frac {R_2} {sCR_2 + 1}} {\ frac {R_2} {sCR_2 + 1} + R_1} = \ frac {R_2} {R_2 + R_1 + sCR_1R_2} \\ & = \ frac {\ frac {1} {R_1C}} {s + \ frac {R_1 + R_2} {R_1R_2C}} = \ frac {\ frac {1} {R_1C}} {s + \ frac {1} {R_1 || R_2C}}. \ end {split} \ end {ecuación} Observe cómo el denominador de la función de transferencia se normaliza al coeficiente de la mayor potencia de \ $ s \ $. Desde esta función de transferencia, si observamos el comportamiento límite como \ $ s \ rightarrow 0 \ $ o \ $ s \ rightarrow \ infty \ $, vemos que el circuito muestra un comportamiento de "paso bajo".

Como a menudo en controles, la respuesta de impulso \ $ H (s) \ $ no es lo que le interesa, para encontrar la respuesta de dominio de tiempo para decir una función de paso (Heaviside) multiplicaría la función de respuesta de impulso por la Transformada de Laplace de la entrada de tensión en el dominio del tiempo, \ begin {equation} U_ {out} (s) = H (s) U_ {in} (s), \ end {ecuación} y tomando la transformada inversa de Laplace del resultado, se llega a la respuesta del dominio de tiempo de su circuito a la entrada dada. \ begin {equation} U_ {out} (t) = \ scr {L} ^ {- 1} \ lbrace H (s) U_ {in} (s) \ rbrace \ end {ecuación}

Un enfoque ligeramente diferente aquí y no hay nada que pueda ver mal con la otra respuesta es primero encontrar la impedancia de \ $ C \ $ en paralelo con \ $ R_2 \ $ de la fórmula "producto sobre suma" para dos impedancias en paralelo.

$$ Z_ {bot} = \ dfrac {R_2 \ cdot \ dfrac {1} {s \ cdot C}} {R_2 + \ dfrac {1} {s \ cdot C}} = \ dfrac {R_2} { 1+ s \ cdot C \ cdot R_2} $$

Ahora notamos que el circuito es un divisor potencial, así que

$$ H (s) = \ dfrac {U_ {out}} {U_ {in}} = \ dfrac {Z {bot}} {Z {top} + Z {bot}} $$

Donde \ $ Z_ {top} \ $ es solo \ $ R_1 \ $ y \ $ Z_ {bot} \ $ es la impedancia paralela que acabamos de calcular.

$$ H (s) = \ dfrac {\ dfrac {R_2} {1+ s \ cdot C \ cdot R_2}} {R_1 + \ dfrac {R_2} {1+ s \ cdot C \ cdot R_2}} = \ dfrac {R_2} {R_1 + R_2} \ cdot \ dfrac {1} {1 + s \ cdot C \ cdot \ dfrac {R_1 \ cdot R_2} {R1 + R2}} $$

Escribir la función de transferencia es de esta manera que podemos ver fácilmente por inspección que tenemos una ganancia en bajas frecuencias de

$$ \ dfrac {R_2} {R_1 + R_2} $$

y un solo polo hacen de este un filtro de paso bajo. El polo está ubicado donde

$$ \ left | s \ cdot C \ cdot \ dfrac {R_1 \ cdot R_2} {R1 + R2} \ right | = 1 $$