Frecuencia y respuesta de fase de varios filtros

La forma normal de resolver estos problemas es como lo describe stevenvh. Las transformaciones de LaPlace y el análisis complejo se utilizan porque los problemas son más fáciles de resolver por los seres humanos en ese espacio.

Sin embargo, esto era todo antes de que existieran computadoras con ciclos de cálculo esencialmente ilimitados y gratuitos. Es posible obtener respuestas significativas de un análisis de dominio puramente temporal. Tomará la computadora más ciclos, pero ¿y qué? Hoy en día, lo que desea conservar es su tiempo y esfuerzo.

Por supuesto, todo se puede resolver de alguna manera en el dominio del tiempo. Después de todo, las señales reales existen allí. Los componentes imaginarios son, bueno, imaginarios. Son ayudas matemáticas útiles para entender y manipular señales donde la frecuencia y la fase son relevantes. El uso de tales abstracciones matemáticas reduce en gran medida el cálculo, pero no son necesarios.

Los programas como Spice hacen casi todo en el dominio del tiempo, creo. Miran los voltajes y las corrientes en un momento dado, luego lo usan para decidir cuáles son los voltajes y las corrientes que están un poco más pequeños en el tiempo. La computadora hace esto unos cuantos millones de veces seguidas y ahora tienes señales reales en función del tiempo. La parte difícil aquí es decidir cuánto tiempo son esos pasos de tiempo de cálculo. Demasiado tiempo, y el cálculo perderá detalles y obtendrá la respuesta incorrecta. Los incrementos demasiado cortos e intermedios serán tan pequeños que se perderán cuando se agreguen a los valores existentes. Esta última parte depende de la precisión del número utilizado dentro de la computadora. Por ejemplo, con un punto flotante normal de IEEE de 32 bits, si los incrementos son 65000 veces más pequeños que lo que se están agregando, el incremento se limita efectivamente a una resolución de 8 bits. Para solucionar esto, la respuesta simple es utilizar el punto flotante de mayor precisión que tiene la computadora. Esto suele llamarse algo así como "doble precisión" en la mayoría de los idiomas. Eso puede llevar un poco más de tiempo en la computadora para manipular los números más amplios, pero de nuevo eso es bastante irrelevante.

Si prueba esta ruta, debe modelar los diversos resistores, condensadores e inductores en forma incremental dentro de la computadora. O puede modelar todo el filtro de forma incremental en algunos casos. Por ejemplo, el algoritmo para un filtro de paso bajo RC de un solo polo es:

FILT < - FILT + FF (NUEVO - FILT)

Esto es muy común dentro de los microcontroladores donde se aplica a lecturas del mundo real con algo de ruido, por ejemplo.

Una vez que tiene un código que modela el filtro de interés, crea un nivel superior que le envía sucesivamente ondas sinusoidales de diferentes frecuencias. Después de esperar para asegurarte de que el filtro haya alcanzado un estado estable para cada frecuencia, observas la amplitud y la fase de un ciclo de salida en relación con el ciclo de entrada.

Para ser claro, estoy de acuerdo con stevenvh en que usar la impedancia compleja es la mejor manera de analizar tales cosas. Mi intención principal era señalar que no necesita necesitar cálculos complejos para resolver este problema, o cualquier problema en electrónica, solo que puede hacerlo mucho más simple. También quería señalar que en el mundo de hoy tratar de conservar el cálculo es un error. Es posible que se haya aplicado hace 20 años, o quizás incluso hace 10 años, pero no hoy.

Otro punto es que necesitas aprender matemáticas complejas. No tiene ningún negocio que intente ser un ingeniero eléctrico, o casi cualquier tipo de ingeniero, sin él. Entonces, en lugar de encontrar formas de evitar el análisis complejo, profundiza y aprende. Esta es una herramienta importante que todos los EE deben tener a su disposición.

Esto se hace a menudo en el dominio s, a través de la transformada de Laplace. Cada compendio de fórmulas de ingeniería tiene una lista de funciones de dominio de tiempo asignadas a su equivalente de dominio s. (En DSP, esto se hará en el dominio Z, la transformada Z es la forma discreta (muestreada) del Laplace continuo).

  

una nota aparte sobre las transformaciones:
  Las transformaciones como la transformada de Laplace no son infrecuentes en matemáticas (de ingeniería). Convierte (Laplace) un problema en uno más simple (s-dominio), lo resuelve allí y lo convierte de nuevo (Laplace inverso). Un ejemplo común son los logaritmos, que fueron utilizados por todos los ingenieros durante cientos de años hasta la computadora digital. Una multiplicación se convierte en una suma si tomas el logaritmo, y eso es más fácil de resolver que una multiplicación. Lo mismo para la división y la exponenciación. Tomar el logaritmo requiere un poco de esfuerzo, por lo que no vale la pena para productos simples. Pero desde el descubrimiento de los logaritmos por Napier en el siglo XVII, las "computadoras" (personas que computan) han compilado tablas de logaritmos, y la regla de cálculo fue la computadora del ingeniero hasta que llegaron las calculadoras electrónicas. Si tiene algo de experiencia con una regla de cálculo, puede hacer algunos cálculos casi tan rápido como con una calculadora, lo que sería más difícil sin la transformación.
  Descargo de responsabilidad: no, no soy tan viejo como para haber trabajado con reglas de cálculo. Mi carrera en la escuela secundaria comenzó con una de las primeras calculadoras programables, la TI-57.

Si no te sientes cómodo con eso, también puedes permanecer en el dominio del tiempo. No da ejemplos de los circuitos que tiene que analizar, supongo que los circuitos RLC. Encontrará la función de transferencia como lo haría para un circuito lineal que solo usa resistencias, calculando paralelos y series equivalentes, usando herramientas como las leyes de Kirchhoff. Por supuesto, tendrá que cargar \ $ j \ omega \ $ todo el tiempo, pero su resultado final debe ser un número complejo con un término real e imaginario. Convierta esto a notación polar usando Identidad de Euler \ $ e ^ {j \ omega t} = cos (\ omega t) + j sin (\ omega t) \ $ y te da magnitud y fase.
Podría usar un programa de hoja de cálculo como Calc o Excel para trazar la función variando la frecuencia \ $ \ omega \ $ en el espectro deseado.

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Olin menciona SPICE, y esa es, por supuesto, una excelente manera de obtener los gráficos, pero le resultará difícil convencer a su maestro de que usted hizo algo por usted mismo, menos que demuestre que lo entiende.

Podría ayudarte a pensar que los circuitos lineales esencialmente resuelven ecuaciones diferenciales en hardware. Ya que desea estar en el espacio de frecuencia de todos modos para los gráficos de Bode, (amplitud y fase vs. tiempo) realmente tiene más sentido utilizar las impedancias complejas para encontrar la función de transferencia. Con la práctica, puedes hacer un diagrama de Bode a mano inmediatamente desde los polos y los ceros, con cierta cantidad de movimiento en las frecuencias de las esquinas. MATLAB también ha incorporado funciones para generar diagramas de Bode, mapas de polo cero, etc. a partir de funciones de transferencia arbitrarias.

Sin embargo, si no quieres usar impedancias complejas, te quedas con un conjunto de ecuaciones diferenciales. Lo que puede resolver utilizando un solucionador ODE, pero todavía necesitará transformarse al dominio de frecuencia. Por lo tanto, realmente podría sentirse cómodo con Laplace y la impedancia compleja.

El mejor recurso web es Wofram Alpha. Por ejemplo, las parcelas se pueden calcular en línea, usando una página de seardch como esta enlace