Desde los primeros principios para una forma de onda que se repite durante un período, Tp es una corriente ascendente de Ii a Ii + Id.
\ begin {equation}
I_ {RMS} = \ sqrt {\ frac {1} {Tp} \ int_0 ^ {Tp} (I_i + \ frac {I_d.t} {Tp}) ².dt}
\ end {ecuación}
\ begin {equation}
= \ sqrt {\ frac {1} {Tp} \ int_0 ^ {Tp} (I_i ^ 2 + \ frac {2.I_i.I_d.t} {Tp} + \ frac {I_d².t ^ 2} {Tp²} ) .dt}
\ end {ecuación}
\ begin {equation}
= \ sqrt {\ frac {1} {Tp} (I_i ^ 2.t + \ frac {I_i.I_d.t ^ 2} {Tp} + \ frac {I_d².t ^ 3} {3Tp²}) _ {t = 0} ^ {t = Tp}}
\ end {ecuación}
\ begin {equation}
= \ sqrt {\ frac {1} {Tp} (I_i ^ 2.Tp + \ frac {I_i.I_d.Tp ^ 2} {Tp} + \ frac {I_d².Tp ^ 3} {3Tp²})}
\ end {ecuación}
\ begin {equation}
I_ {RMS} = \ sqrt {I_i ^ 2 + I_i.I_d + \ frac {I_d²} {3}}
\ end {ecuación}
Si, por el contrario, consideras que esto es una rampa ascendente de i1 a i2, sustituye i1 por ii y i2-i1 por Id y obtienes
\ begin {equation}
I_ {RMS} = \ sqrt {i1 ^ 2 + i1. (I2-i1) + \ frac {(i2-i1) ^ 2} {3}}
\ end {ecuación}
\ begin {equation}
= \ sqrt {i1.i2 + \ frac {(i2 ^ 2-2i1.i2 + i1 ^ 2)} {3}}
\ end {ecuación}
\ begin {equation}
= \ sqrt {\ frac {(i2 ^ 2 + i1.i2 + i1 ^ 2)} {3}}
\ end {ecuación}
Esto es independiente del tiempo y i1 e i2 son intercambiables, de modo que cuando tiene una rampa que va de i1 a i2 y luego regresa a i1 en un período, este es su resultado y es independiente del ciclo de trabajo.
Ahora debe promediar el resultado de arriba a lo largo del tiempo.
Para promediar dos corrientes RMS diferentes durante un período más largo (la pista una de estas puede ser cero).
Digamos que tenemos Irms1 para t1 e Irms2 para t2.
\ begin {equation}
I_ {RMS} = \ sqrt {\ frac {I_ {RMS1} ^ 2.t_1 + I_ {RMS2} ^ 2.t_2} {t1 + t2}}
\ end {ecuación}
Entonces, donde tenemos una rampa que va de i1 a i2 para t1 y no tenemos corriente para t2.
\ begin {equation}
I_ {RMS} = \ sqrt {\ frac {t1} {t1 + t2}. \ Frac {(i2 ^ 2 + i1.i2 + i1 ^ 2)} {3}}
\ end {ecuación}
