Significado de la Ley de Gauss

como el radio tiende a cero, la expresión daría infinito

Esto no es correcto. Que un límite esté definido no significa que una expresión esté definida en el límite. De hecho, cuando el límite es un número real (como 0), ¿por qué incluso necesitaríamos límites, si esto no fuera así?

El límite ordinario de esta expresión no está definido:

$$ \ lim_ {r \ to 0} \ frac {Q} {4 \ pi r ^ 2} = \ text {undefined} $$

Consulte división por cero .

Sin embargo, se define el límite unilateral :

$$ \ lim_ {r \ searrow 0} \ frac {Q} {4 \ pi r ^ 2} = \ infty $$

pero esto todavía no significa que puedas hacer esto:

$$ \ require {cancel} \ cancel {\ frac {Q} {4 \ pi0 ^ 2} = \ infty} $$

¿Por qué obtenemos un campo infinito en el centro?

No lo haces. El límite de un lado significa que \ $ D \ $ puede hacerse arbitrariamente grande haciendo que \ $ r \ $ sea arbitrariamente pequeño pero no cero . Cuando \ $ r = 0 \ $, \ $ D \ $ no está definido, de cualquier forma que lo corte. Usar un límite no hace que la división por cero esté definida.

Hay una razón por la que \ $ D \ $ no está definido cuando \ $ r = 0 \ $: dos cosas no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo. Cuando alguna otra carga similar se acerca a la carga en el centro de tu esfera, experimenta una fuerza repulsiva creciente. No hay límite en cuanto al tamaño de esta fuerza, por lo que nunca puede obtener los dos cargos en el mismo espacio.

Dos cosas pueden pasar, si lo intentas. El caso común es que las cargas se aproximan entre sí hasta que la fuerza de repulsión crezca para ser suficiente para equilibrar cualquier otra fuerza que esté acercando las cargas. Esto es lo que le impide empujar su dedo a través del escritorio, por ejemplo.

El caso menos común es que te acerques lo suficiente como para que otras fuerzas se vuelvan significativas, y tu cargo en el centro puede ya no se puede considerar un punto, pero se debe considerar como separado, más partículas fundamentales . Esto generalmente no ocurre porque requiere mucha energía. En este punto, probablemente esté jugando con un acelerador de partículas, y haya abandonado el campo de la ingeniería eléctrica y haya ingresado en el campo de la física de partículas. No soy un físico, así que no puedo decirte exactamente lo que sucederá, aparte de que se verá así:

Realmente no tengo idea de lo que representa esta imagen, aparte de lo que estaba en el medio explotó. Todavía no he observado tales efectos en mis circuitos, así que no he tenido motivos para preocuparme :)

En la superficie imaginaria definida por la esfera de radio r, el campo de desplazamiento se define mediante esa ecuación mediante la aplicación de la ley de Gauss y el uso del área de superficie de una esfera. La ley de Gauss dice que el flujo neto a través de la superficie es proporcional a la carga encerrada por la superficie, claramente cuando r = 0 la superficie no encierra ningún volumen y la ley de Gauss no se cumple.

  

¿Qué significa esto físicamente?

Veamos el supuesto que conduce a este resultado.

• Hay un cargo por punto , \ $ Q \ $, en el origen de nuestra coordenada sistema.

Ahora, esto significa que la densidad de carga asociada con esta carga puntual es:

\ $ \ rho (r) = \ delta (r) \ $

En otras palabras, la densidad de carga es cero , excepto en el origen donde es "infinita", de tal forma que la carga total es Q .

¿Cómo físico es esta suposición?

Si está convencido de que no hay infinitos reales , entonces está claro cómo proceder: representar la densidad de carga como una función que va a un \ $ \ delta \ $ en algunos límite. Por ejemplo:

\ $ \ rho (r) = \ begin {cases} \ frac {3Q} {4 \ pi R ^ 3}, & r \ le R \\ 0, & r > R \ end {cases} \ $

Ahora, podemos hacer que \ $ R \ $ sea arbitrariamente pequeño, de modo que el cargo sea efectivamente un cargo en puntos, pero ahora, \ $ D \ = Q / (4 \ pi r ^ 2) \ $ solo retiene para \ $ r > R \ $, es decir, \ $ D \ $ ya no diverge en el origen.