Cálculo de la descarga de los Ultra Condensadores

Si modelamos la configuración con un condensador en paralelo con la carga, y dejamos que \ $ i \ $ sea la corriente en la carga y \ $ v \ $ el voltaje entre las dos, las ecuaciones del circuito son:

$$ \izquierda\{ \ begin {alineado} -i & = C \ dfrac {dv} {dt} \\ [1 em] v i & = P \ end {alineado} \Correcto. \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad \izquierda\{ \ begin {alineado} -i & = C \ dfrac {dv} {dt} \\ [1 em] i & = \ dfrac P v \ end {alineado} \Correcto. $$

Donde P es el nivel de potencia constante. Poner los dos juntos le dará esta ecuación diferencial:

$$ C \ dfrac {dv} {dt} = - \ dfrac P v \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad v dv = - \ dfrac P C dt \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad 2 v dv = -2 \ dfrac P C dt $$

Si integramos a partir del instante 0 donde asumimos que un voltaje \ $ v_0 \ $ está en el límite, obtenemos:

$$ \ int_ {v_0} ^ {v} {2 v dv} = \ int_0 ^ t {-2 \ dfrac P C dt} \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad v ^ 2 - v_0 ^ 2 = -2 \ dfrac P C t $$

De donde puedes obtener fácilmente una fórmula para el voltaje y el tiempo:

$$ t = \ dfrac {C} {2 P} (v_0 ^ 2 - v ^ 2) \ qquad v = \ sqrt {v_0 ^ 2 - \ dfrac {2P} {C} t} $$

Si queremos tener en cuenta el ESR u otros elementos del circuito, la ecuación se vuelve más difícil de resolver, pero para una estimación inicial, debería ser lo suficientemente buena.

Aquí hay una simulación de LTspice para el sistema. Observe que la carga ha sido modelada por una fuente de corriente de comportamiento que se comporta como una carga de potencia constante solo hasta que su voltaje llega a Vmin, luego vuelve a un comportamiento de resistencia constante. Esto es necesario para evitar la inestabilidad numérica en la simulación, ya que una verdadera fuente de energía constante no es un dispositivo físico (con 0 voltios dibuja amperios infinitos).

Yaquíestánlosresultados.PuedeobservarlaconfirmacióndelaformadelaraízcuadradainvertidaeneltiempodelvoltajeVxpredichoteóricamentearriba.Lasformasdelasseñalescambianalacorrienteytensióndedecaimientoexponencialhabitualescuandolacargacambiaalmododeresistenciaconstante.

Aquíhayungráficoampliadodelvoltaje,quemuestraelvalordetiempoqueestábuscando:

Que es coherente con el valor calculado con la fórmula anterior:

$$ t_ {shutdown} = t (v) \ bigg | _ {v = 10V} = \ dfrac {C} {2 P} (v_0 ^ 2 - v ^ 2) \ bigg | _ {v = 10V} = \ dfrac {1000F} {2 \ times 280W} \ left [(15V) ^ 2 - (10V) ^ 2 \ right] = 223.2 s $$

Una respuesta teórica en cuanto a un problema de tarea sería tomar la energía en el capacitor al inicio y la energía en el capacitor cuando el dispositivo deja de funcionar (10 V, presumiblemente) y restar los dos.

\ $ \ Delta \ $ U = \ $ (\ frac {CV_i ^ 2} {2} \ $ - \ $ \ frac {CV_f ^ 2} {2}) \ $

Dado que conoce la tasa de consumo de energía (280 J / s), puede calcular fácilmente el tiempo de ejecución.