Supongamos que hay dos señales periódicas con frecuencias particulares. Dos señales se combinan en una sola señal.
Supongamos que tomamos muestras finitas de estas señales. (entonces, tiempo finito de transformación).
Entonces, ¿es posible averiguar el contenido de frecuencia de las dos señales originales utilizando algún tipo de transformación?
Lo que está preguntando sobre cae en el ámbito de estimación espectral , del cual estimación de frecuencia es un caso particular.
En general, sin un conocimiento previo sobre las frecuencias en sus señales originales, no puede hacer lo que pide. Una razón fundamental es el aliasing. Si muestra en alguna frecuencia \ $ f_s \ $, no puede distinguir las frecuencias de entrada \ $ nf_s - f_0 \ $, \ $ nf_s + f_0 \ $ para diferentes n desde 0 hasta el infinito. Por ejemplo, si realiza una muestra a 100 Hz, no puede distinguir la diferencia entre una entrada de 20 Hz, una entrada de 80 Hz, 120 Hz, 180, 220, etc.
Otra limitación, si no sabe nada acerca de sus frecuencias de entrada, es que la precisión con la que puede estimar sus frecuencias de entrada está limitada por la cantidad de tiempo que muestre. Por ejemplo, si muestrea a 100 Hz durante 1 s, es posible que (en términos generales) apenas pueda distinguir entre una entrada de 20 Hz y una entrada de 21 Hz. Si realiza una muestra durante 100 s, es posible que apenas pueda distinguir entre una entrada de 20 Hz y una entrada de 20.01 Hz, etc.
Estas limitaciones se aplican si tiene una entrada formada por la combinación de dos fuentes independientes o si solo tiene una entrada de onda sinusoidal pura y simple y desea estimar su frecuencia. Por supuesto, el segundo límite tiene cierta relevancia si tiene dos entradas en frecuencias muy separadas y desea poder separarlas.
También puede obtener ayuda con esto en dsp.stackexchange.com , aunque la respuesta típica allí requiere una respuesta sustancial. cantidad de antecedentes matemáticos que pueden dificultar su comprensión.
Si sabe que una señal es periódica, solo necesita un período para calcular la transformada de Fourier. El problema es determinar cuál será el período de las dos señales juntas, una vez que las sumes.
Usted dice que las señales tienen frecuencias únicas, supongo que quiere decir sinusoides. Al tener frecuencias únicas, tendrán un pico en el espectro, y nada más (idealmente).
Siendo la transformada de Fourier lineal , la suma de las señales tendrá un espectro que es la suma de los espectros de las ondas sinusoidales individuales, por lo que tendrá dos picos en la misma posición exacta de las otras dos señales.
If la señal de suma tiene un período finito, será el intervalo mínimo necesario en el que debe integrarse para transformarla, de lo contrario, introducirá un error y no podrás reconstruir las ondas sinusoidales originales.
Tenga en cuenta que muestras finitas tiene dos implicaciones: muestrea en un intervalo finito en el tiempo y muestrea con una frecuencia finita. Ambas son restricciones para las señales que desea transformar: la primera funciona solo si la señal transformada tiene un período finito (como dijimos), la segunda viene dada por teorema de Nyquist-Shannon , y significa que debe muestrear al menos al doble la frecuencia máxima de la señal. Puede observar que las primeras restricciones ponen un límite inferior en la frecuencia de la señal, y la segunda pone un límite superior.
Como nota al margen: no podrás reconstruir las señales si sus espectros se superponen, por lo que si son ondas sinusoidales, si sus frecuencias son iguales.
Si las dos frecuencias son únicas, es decir, f1 / f2 = irracional, la señal del producto no será periódica (tengo una prueba de esto si te importa)
No puede hacer una serie de Fourier en una señal no periódica. Lo mejor que podría hacer es un análisis de Fourier aproximado suponiendo que el período es un valor aceptable. Esto conducirá a una reconstrucción aproximada.
Muy a menudo "combinamos" varias señales, las enviamos por un solo cable o fibra o por el aire, como una sola señal combinada, y en el extremo más alejado las separamos en más o menos las señales originales.
Hay docenas de formas diferentes en que "combinamos" las señales.
Entonces, ¿es posible averiguar el contenido de frecuencia ... utilizando cualquier tipo de transformación?
Casi siempre usamos una transformada rápida de Fourier para averiguar el contenido de frecuencia de una señal. (Algunas personas están experimentando con otras técnicas para encontrar el contenido de frecuencia de una señal: la transformada de Hartley, la transformada rápida de Walsh-Hadamard, la transformada de chirplet, las transformadas de wavelet, etc.)
Supongamos que tomamos muestras finitas de estas señales. (entonces, tiempo finito de transformación.)
En la práctica, siempre que muestreamos una señal, siempre tomamos un número finito de muestras de una señal, durante un período de tiempo extremadamente limitado.
Ya debemos saber (o adivinar) el rango de frecuencia de interés para seleccionar el anti- aliasing Filtro y frecuencia de muestreo.
Entonces, ¿es posible averiguar el contenido de frecuencia de los dos ¿Señales originales usando algún tipo de transformada?
Debe saber algo sobre cómo se combinaron las señales, y algo sobre las señales originales, para obtener información útil de la señal combinada.
Por ejemplo, diga que sabe que las señales originales eran de audio en el rango de audición humana, y la primera señal se moduló en AM a 540 kHz, mientras que la segunda se moduló en AM a 1610 kHz, y luego las dos señales moduladas se sumaron. En ese caso, es bastante fácil determinar el contenido de frecuencia de cada una de las dos señales de audio originales, mirando la pantalla de un analizador de espectro de RF (que a menudo se implementa tomando un número finito de muestras y luego aplicando una transformada rápida de Fourier). También es bastante fácil demodular y recuperar la señal A y la señal B que son más o menos lo mismo que la primera señal original y la segunda señal, respectivamente.
Para otro ejemplo, digamos que sabe que las señales originales eran de audio en el rango de audición humana, y que fueron moduladas en AM y luego las señales moduladas se sumaron, pero no sabe de antemano qué frecuencia de modulación en particular fue usado. En ese caso, es bastante fácil mirar la pantalla de un analizador de espectro de RF y averiguar qué frecuencias de modulación se utilizaron. Entonces puedes saber si las frecuencias de modulación están lo suficientemente separadas, y si es así, puede demodular y recuperar la señal A y la señal B que son más o menos lo mismo que la primera señal original y la segunda señal; y averiguar el contenido de frecuencia de la señal A y la señal B, pero es imposible saber si la primera señal va con la señal A y la segunda señal con la señal B, o viceversa.
Por otro lado, si todo lo que sabe es que las señales originales eran de audio en el rango de audición humana, y luego simplemente se sumaron, (o si cada uno fue AM modulado a aproximadamente la misma frecuencia y luego agregado), Es prácticamente imposible separarlos. Puede averiguar el contenido de frecuencia de la señal combinada, mirando el espectro - la transformada de Fourier de la señal combinada. Si tienes suerte, y las señales no se sincronizan entre sí, puede averiguar alguna información sobre el contenido de frecuencia de las dos señales originales. Cuando vea frecuencias "silenciosas" en la señal combinada, tanto la primera como la segunda señal deben estar en silencio a esa frecuencia. Cuando vea frecuencias "altas" en la señal combinada, la primera o la segunda señal deben estar produciendo esa frecuencia. Pero sin más información, es imposible saber si esa frecuencia "alta" es solo producida por la primera señal, o solo por la segunda señal, o por la primera y segundas señales.
Si ejecuta una transformación de Fourier en un período de muestreo finito que no es un número integral de períodos de señal, experimentará distorsión espectral ya que lo que realmente está haciendo es tomar la transformación de la señal de entrada convolucionada con su apagado / encendido. Ventana de muestreo para un momento / apagado. Esto le dará la transformación de la señal de entrada multiplicada por la transformación de la ventana de muestreo rectangular, que es una función de sincronización ((sin x) / x).
Para evitar dicha distorsión en el dominio de la frecuencia, es común multiplicar los datos de muestra de entrada por una función de ventana, lo que tiene el efecto de "atenuar" la señal hacia adentro y hacia afuera para evitar las distorsiones causadas por el abrupto inicio y final de el muestreo Hay varias funciones de ventana con ventajas y desventajas; uno simple es (cos x) + 1 escalado al período de muestreo.