Determine la corriente a través de una fuente de voltaje para el análisis nodal

¡Saludos a todos los compañeros usuarios que me ayudaron en esto! Estoy escribiendo esta respuesta en base a sus comentarios para mayor visibilidad.

RESPUESTA: en realidad no necesitamos usar la tercera ecuación. Sustituimos las representaciones actuales por \ $ I_ {AC}, I_ {GND-A}, I_ {GND-B}, I_ {AB} \ $ y \ $ I_ {CB} \ $ en las ecuaciones respectivas para los nodos A y B. Lo que significa:

Nodo A: \ $ - \ frac {E_A-2} {3} + \ frac {E_A} {2} + 1 = 0 \ $

Nodo B: \ $ - 1-E_B + \ frac {2-E_B} {x} = 0 \ $ (\ $ E_C = 2V \ $)

Resolviendo la ecuación para el nodo A obtenemos \ $ E_A \ $, y resolviendo la ecuación del nodo B obtenemos \ $ E_B \ $. La diferencia de potencial entre el nodo B y el suelo (V_1) es igual a \ $ E_B \ $, que es una función de x. Por lo tanto:

\ $ V_1 = \ frac {2-x} {x + 1} \ $, y porque \ $ R_1 = 1Ω, I_1 = V_1 \ $.

Finalmente, obtenemos que: \ $ P_1 = (\ frac {2-x} {x + 1}) ^ 2 \ $ y ahora necesitamos encontrar el valor de x que se asigna al máximo de esta función para \ $ x > = 0 \ $, lo cual es trivial si conoces un poco de Cálculo I. (Spoiler: es \ $ x = 0 \ $)

No puede determinar la corriente a través de la fuente de voltaje de la forma que desee.

Es por esto que el análisis nodal (estrictamente definido) no puede usarse con circuitos que contienen fuentes de voltaje. Deberías haberte enseñado esto cuando aprendiste el análisis nodal.

Lo que puede hacer en su lugar es utilizar el análisis nodal modificado .

Esto significa que básicamente elimina la ecuación de nodo que depende de la corriente a través de la fuente de voltaje y sustituye una nueva ecuación basada en las propiedades de la fuente de voltaje:

$$ E_C = 2 \ {\ rm V}. $$

Es un poco más complicado si uno de los terminales de la fuente de voltaje no está conectado a tierra. Luego tiene que combinar las ecuaciones de nodo para los dos nodos conectados por la fuente de voltaje para formar una ecuación de supernodo .

No necesita ecuaciones para esto, si puede elegir cualquier valor para X, el mejor de los casos sería un cortocircuito directo entre R_x (o donde R_x = 0) porque es el voltaje más alto que puede obtener .

Lo primero sería probar los casos extremos, como cuando R_x es cero o está abierto.

Maximizar la potencia a través de R1 también significa maximizar la tensión a través de él.

si R_x es cero, entonces el voltaje V_c = V_b y se convierte en 2V, que será el voltaje más alto alcanzable para V_b, lo que también significa la mayor potencia para R_1 con una potencia de 2V ^ 2 / 1Ω = 4W.

si R_x está abierto, entonces la fuente actual asume el control, lo que significa que 1A a R sería 1A ^ 2 / 1Ω = 1W

Cualquier otro valor de resistencia estará entre estos dos casos.

El esquema se puede volver a dibujar en lo siguiente:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

El esquema anterior es mucho más simple de trabajar. \ $ R_2 \ $ y \ $ R_3 \ $ son realmente inútiles. Tienes una fuente de corriente, que es efectivamente una impedancia infinita. Así que todo a la izquierda realmente no importa, a menos que, por alguna razón, te importe el voltaje, \ $ V_ \ text {A} \ $. (Que no deberías, para este problema.)

Creo que puedes ver fácilmente que ahora es mucho más fácil trabajar con el lado derecho. La ecuación nodal es:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_ \ text {B}} {R_1} + \ frac {V_ \ text {B}} {R_x} & = \ frac {2 \: \ text {V}} {R_x} +1 \: \ el texto {A} \\\\ & \ por lo tanto \\\\ V_ \ text {B} & = \ frac {R_1} {R_1 + R_x} \ cdot \ left (2 \: \ text {V} + I_1 \ cdot R_x \ right) \ end {align *} $$

Una vez que tenga este valor, sabrá que la potencia en \ $ R_x \ $ es \ $ \ frac {\ left (2 \: \ text {V} -V_ \ text {B} \ right) ^ 2} {R_x} \ $. Si inserta la ecuación para \ $ V_ \ text {B} \ $ y luego toma la derivada de esto con respecto a \ $ R_x \ $ y resuelve que la pendiente es cero, puede obtener el valor de \ $ R_x \ PS Resulta en una respuesta muy, muy simple.