Dejando a un lado las matemáticas por un momento, hablemos sobre de qué trata este problema.
Tienes un sistema que estás tratando de controlar. Por sí solo, en este caso, es inestable. Por otro lado, es posible controlar. u = -kx significa que vas a tomar algo que sabes sobre el estado del sistema x, escalarlo por k y usarlo como tu control, u.
Si estás familiarizado con el análisis del lugar de las raíces, lo que estás haciendo aquí es solo una versión multidimensional de eso.
Puedo decirle que A es inestable porque tiene valores propios positivos. Los valores propios siempre parecen un poco misteriosos, pero en realidad solo describen cómo una matriz transforma un conjunto de datos en otro. Son el "componente de escala" de una transformación; los vectores propios del "componente de rotación" (tipo de). Los valores propios positivos tienen este efecto de escala porque en un ciclo de retroalimentación, efectivamente estás multiplicando el estado por A con cada iteración incremental. Una serie infinita de multiplicaciones significa que tiene una función exponencial relacionada con A. Matemáticamente, si A tiene valores propios positivos, entonces, cuando se eleva a una potencia, sus componentes están relacionados con las potencias de esos valores propios, por lo que crecen sin límite.
Encuentre una manera de hacer que todos los valores propios sean negativos, y estabilice el sistema.
Su sistema es estrictamente correcto. C = matriz de identidad y D = matriz de cero. El artículo de Wikipedia muestra cómo derivar una ecuación simple para esta situación. Lo que se reduce a es:
Conoces A y B. Debes encontrar K, de modo que la matriz A + KB tenga todos los valores propios negativos. Por lo tanto, debemos encontrar una manera de relacionar K con los valores propios de A + KB, utilizando una composición electrónica.
Eche un vistazo a este artículo que parece cubrir el procedimiento, Con un ejemplo y comandos de Matlab. En su notación, 'F' ocupa el lugar de 'K', y 'v' = 0 en su problema, y v_i es un vector propio en ambos problemas que no son iguales a 'v'.