Voltaje a través del capacitor

Resolviendo ckt # 3 de manera difícil usando ecuaciones diferenciales:

Para empezar, esta ecuación siempre se cumple, para cualquier capacitor $$ i = CdV / dt $$

En el circuito que ha proporcionado, tenemos dos voltajes desconocidos (V1 en C1 y V2 en C2). Estos pueden resolverse aplicando las leyes actuales de Kirchoff en los dos nodos.

Para el nodo V1: $$ (V_s-V_1) / R_1 = C_1 dV_1 / dt + (V_1-V_2) / R_2 $$

Y para el nodo V2: $$ (V_1-V_2) / R_2 = C_2 dV_2 / dt $$

Ahora tenemos dos ecuaciones diferenciales en dos incógnitas. Resuelve los dos simultáneamente y obtendremos las expresiones para V1 y V2. Una vez que se calculan V1 y V2, el cálculo de las corrientes a través de las ramas es trivial.

Por supuesto, la resolución de ecuaciones diferenciales no es trivial, por lo que generalmente usamos la Transformada de Laplace o la Transformada de Fourier para convertirlas en ecuaciones algebraicas simples en el dominio de la frecuencia, resolvemos las incógnitas y luego hacemos la transformada de Laplace / Fourier inversa para obtener la incógnitas de nuevo en el dominio del tiempo.

Método 2: usar la regla del divisor de voltaje:

Si recordamos que la impedancia a través de un capacitor C es $$ Z = 1 / jwC $$ y que denota las impedancias de los dos capacitores C1 y C2 como Z1 y Z2, podemos calcular V2 usando la fórmula para la división de voltaje a través de dos impedancias ( enlace ): $$ V_2 = V_1 R_2 / (R_2 + Z_2) $$ V1 también se puede calcular utilizando la misma regla, el único problema es que la impedancia en el lado derecho del nodo 1 es un poco compleja: es la combinación paralela de Z1 y (R2 + Z2). V1 ahora se convierte en $$ V_1 = V_s (Z_1 * (R_2 + Z_2) / (Z_1 + R_2 + Z_2)) / (R_1 + (Z_1 * (R_2 + Z_2) / (Z_1 + R_2 + Z_2))) $$

Lo que se debe hacer a continuación es expandir Z1 y Z2 utilizando la fórmula de impedancia capacitiva, para obtener V1 y V2 en términos de w. Si necesita la respuesta de tiempo completa de las variables, puede hacer Transformadas de Fourier inversas y obtener V1 y V2 como funciones de tiempo. Sin embargo, si solo necesita el valor final (estado estable), simplemente configure $$ w = 0 $$ y evalúe V1 y V2.

Una forma bastante más simple:

Este método puede dar solo los valores finales de estado estable, pero es un poco práctico para cálculos rápidos. El problema es que una vez que un circuito se ha estabilizado, la corriente a través de cada condensador será cero. Tomemos el primer circuito (el simple RC) por ejemplo. El hecho de que la corriente a través de C sea cero dicta que la corriente a través de R (y, por lo tanto, la caída de voltaje a través de ella) también sea cero. Por lo tanto, la tensión a través de C será igual a Vs.

Para el segundo circuito, toda la corriente debe pasar por la ruta R1- > R2- > R3 si el capacitor no consume corriente. Esto significa que la tensión en C (igual a la tensión en R2) es $$ V_s R_2 / (R_1 + R_2 + R_3) $$

En el último circuito, la corriente a través de C2 es igual a cero implica que la corriente a través de R2 es cero (y, por lo tanto, cualquier caída de voltaje a través de él). Esto significa que cualquier corriente que fluya debe tomar la ruta R1- > C1. Sin embargo, la corriente a través de C1 también es cero, lo que significa que R1 tampoco transporta corriente. Por lo tanto, los voltajes V1 y V2 serán iguales a Vs en estado estable

En mi opinión, si está familiarizado con el análisis de circuitos utilizando ecuaciones de bucle y transformadas de Laplace, sería la mejor opción. El análisis de circuito que utiliza transformadas de Laplace tiene la misma potencia que el uso de ecuaciones diferenciales clásicas, pero es mucho más fácil.

Ahora, para aplicar la transformada de Laplace directamente, usamos

1) X_L (Impedencia del inductor) como sL

2) X_C (Impedencia del condensador) como 1 / (sC)

3) R (Resistencia) tal como es

todos asumiendo cero condiciones iniciales.

Para su problema, suponiendo corrientes en ambos bucles en sentido horario;

V (s) = I1 (R1 + 1 / sC1) - I2 (1 / sC2) ------- loop1

0 = I1 (1 / sC1) - I2 (1 / (sC1) + R2 + 1 / (sC2)) --- bucle 2

Dos ecuaciones para dos incógnitas. La respuesta para I1 e I2 estaría en el dominio s. Así que toma la transformada inversa de Laplace. Una vez que tenemos las corrientes, los voltajes también son fáciles de encontrar.

Alternativamente, el método de nodo puede aplicarse directamente para obtener voltajes.

La forma más sencilla de resolver este problema sería colocar el circuito en el lugar de espera, también conocido como dominio de frecuencia. En el dominio de la frecuencia, la variable dependiente es la frecuencia en lugar del tiempo. Existen valores equivalentes para cada una de las características del circuito.

L - > LS

C - > 1 / Cs

R - > R

v (t) - > V (S)

y así sucesivamente ...

Sustitúyalos en el diseño de su circuito y puede utilizar técnicas básicas de análisis de circuitos; considerando restricciones de conexión. También puedes encontrar un circuito equivalente al de la línea como antes.

Sin embargo, es importante tener en cuenta que para convertir las funciones resultantes en algo que pueda usar, deberá realizar una transformación inversa de la'place. Sugiero buscar una tabla de identidades y tratar de que su función se parezca a las identidades mediante la manipulación algebraica.

Si tiene tiempo, esta es una gran habilidad para aprender y simplificará el análisis de circuitos que tendría que hacer en futuras aplicaciones.