¿Por qué se agrega un factor 2/3 a la matriz de transformación de Clarke?

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Aparentemente, la matriz para transformar los 3 vectores \ $ U_a, U_b, U_c \ $ en \ $ U_ \ alpha, U_ \ beta \ $ es: $$ \ begin {bmatrix} U _ {\ alpha} \\ U _ {\ beta} \\ U_ {0} \\ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 & - \ frac {1} {2} & - \ frac {1} {2} \\ 0 & \ frac {\ sqrt {3}} {2} & - \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ frac {1} {2} & \ frac {1} {2} & \ frac {1} {2} \\ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} U_ {a} \\ U_ {b} \\ U_ {c} \\ \ end {bmatrix} $$

Por qué en Clarke Transform, la matriz se multiplica por \ $ \ frac {2} {3} \ $

$$ T _ {\ alpha \ beta 0} = \ frac {2} {3} \ begin {bmatrix} 1 & - \ frac {1} {2} & - \ frac {1} {2} \\ 0 & \ frac {\ sqrt {3}} {2} & - \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ frac {1} {2} & \ frac {1} {2} & \ frac {1} {2} \\ \ end {bmatrix} $$

    
pregunta user36589

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Si realiza la transformación sin el factor de escala 2/3, la amplitud de las variables alfa-beta es 1.5 veces mayor que la de las variables ABC. La escala se realiza solo para mantener la amplitud a través de la transformación. Por ejemplo, tomando un sistema trifásico equilibrado con amplitud 1, la primera fila se convierte en $$ \ cos {\ omega t} - \ frac {1} {2} \ cos {(\ omega t + \ frac {2 \ pi} {3})} - \ frac {1} {2} \ cos {(\ omega t- \ frac {2 \ pi} {3})} $$ Usando la identidad $$ \ cos {A} \ cos {B} = \ frac {1} {2} \ cos {(A + B)} + \ frac {1} {2} \ cos {(A-B)} $$ esto se reduce a $$ \ cos {\ omega t} - \ cos {(\ frac {2 \ pi} {3}}) \ cos {\ omega t} = \ frac {3} {2} \ cos {\ omega t} $$

    
respondido por el user28910

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