Convertir un resumen en una integración

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Lo he visto hacer unas cuantas veces, siempre es más o menos aparente que "oh sí, está bien, han dejado esto, han sacado esto allí, sí, está bien, un poco convincente" - pero nunca he hecho por qué o cómo hacerlo por mí mismo.

Probablemente no lo entiendo lo suficiente como para buscar de la manera correcta, pero no puedo encontrar nada útil con Google.

Hay una muy buena derivación de mathmo que apenas entiendo una palabra de aquí .

Y un Físico completamente inútil "por lo tanto es esta" no explicación aquí .

Pero, ¿qué hay de un buen método no matemáticamente apropiado pero funciona para los ingenieros?

Para ser claros, quiero saber cómo ir desde:

$$ \ lim _ {\ Delta \ omega \ rightarrow0} \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ dfrac {G (n \ cdot \ Delta \ omega) \ cdot \ Delta \ omega} {2 \ pi} \ cdot e ^ {jn \ cdot \ Delta \ omega \ cdot t} $$

a:

$$ \ dfrac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G (\ omega) e ^ {j \ omega t} \ cdot d \ omega $$

y viceversa, y saber cómo hacer esto para otros problemas, ya que, como dije, puedo ver que hemos mantenido los límites, integrado wt el límite y eliminado el variable de suma \ $ n \ $. Pero si lo hiciera con otro problema, no sabría que lo estaba "haciendo bien", y en la otra dirección, ¿cómo podemos saber dónde colocar de nuevo el \ $ n \ $?

    
pregunta OJFord

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Solo tienes que pasar por las definiciones. Hay algunos pequeños inconvenientes, pero mientras se definan todos los límites, con los adjetivos apropiados en \ $ G \ $, entonces estamos bien. Hay varias definiciones del símbolo \ $ \ int \ $. El que quieres usar es la integral de Riemann. Para simplificar la notación estableceré \ $ F (\ omega) = \ frac {1} {2 \ pi} G (\ omega) e ^ {j \ omega t} \ $.

Ahora la integral de Riemann \ $ \ int_a ^ b F (\ omega) d \ omega \ $ todavía tiene una definición bastante complicada que involucra sups e infs, pero cuando existe y \ $ a \ $ y \ $ b \ $ son enteros entonces es igual a $$ \ int_a ^ b F (\ omega) d \ omega = \ lim_ {j \ rightarrow \ infty} \ sum_ {n = aj} ^ {bj-1} F (n \ frac {1} {j}) \ frac {1} {j}. $$

Eso es en lugar de tomar \ $ \ Delta \ omega \ rightarrow 0 \ $, es lo suficientemente bueno como para tomar \ $ \ Delta \ omega = \ frac {1} {j} \ $ con \ $ j \ rightarrow \ infty PS Esta es la definición que aprendiste en la clase de cálculo.

La integral impropia se define como $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F (\ omega) d \ omega = \ lim_ {a \ rightarrow - \ infty, b \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ b F (\ omega) d \ omega. $$

Nuevamente, si este límite existe, este es solo el límite (para \ $ k \ $ un entero) $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F (\ omega) d \ omega = \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} \ int _ {- k} ^ k F (\ omega) d \ omega. $ $

Combinando todo esto y no discutiendo cuándo o cómo cambiar el orden de toma de límites es válido, obtenemos $$ \ begin {eqnarray *} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F (\ omega) d \ omega & = & \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} \ int _ {- k} ^ k F (\ omega) d \ omega \\ & = & \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} \ lim_ {j \ rightarrow \ infty} \ sum_ {n = -kj} ^ {kj-1} F (n \ frac {1} {j}) \ frac {1} { j} \\ & = & \ lim_ {j \ rightarrow \ infty} \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} \ sum_ {n = -kj} ^ {kj-1} F (n \ frac {1} {j}) \ frac {1} { j} \\ & = & \ lim_ {j \ rightarrow \ infty} \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F (n \ frac {1} {j}) \ frac {1} {j} \\ & = & \ lim _ {\ Delta \ omega \ rightarrow 0} \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F (n \ Delta \ omega) \ Delta \ omega \ end {eqnarray *} $$

    
respondido por el SomeEE

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