Relación entre el voltaje de salida y la corriente en un amplificador transresistente

Ya sabes \ $ V_1 \ $. Y dado su enfoque editado / agregado para resolver el problema, que también funciona, no tengo ningún problema en agregar el seguimiento a mi sugerencia anterior de que utilice el análisis nodal.

Así que solo haz el nodal para \ $ V_1 \ $:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_1} {R_2} + \ frac {V_1} {R_3} & = i_s + \ frac {v_o} {R_3} \\\\ V_1 \ cdot \ left (\ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} \ right) & = i_s + \ frac {v_o} {R_3} \ end {align *} $$

Ese es el nodo para \ $ V_1 \ $. Pero también sabes que \ $ V_1 = -i_s \ cdot R_1 \ $. (Ya lo dijiste.) Entonces:

$$ \ begin {align *} -i_s \ cdot R_1 \ cdot \ left (\ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} \ right) & = i_s + \ frac {v_o} {R_3} \\\\ -i_s-i_s \ cdot R_1 \ cdot \ left (\ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} \ right) & = \ frac {v_o} {R_3} \\\\ -i_s \ cdot \ left [1+ R_1 \ cdot \ left (\ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} \ right) \ right] & right =; = frac {v_o} {R_3} \ \\\ v_o & = - i_s \ cdot R_3 \ cdot \ left [1+ R_1 \ cdot \ left (\ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} \ right) \ right] \\\\ \ frac {v_o} {i_s} & = - R_3 \ cdot \ left [1+ R_1 \ cdot \ left (\ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} \ right) \ right] \ \\\ \ frac {v_o} {i_s} & = - \ left (R_3 + \ frac {R_1 R_3} {R_2} + R_1 \ right) \\\\ \ frac {v_o} {i_s} & = - R_1 \ cdot \ left (1+ \ frac {R_3} {R_1} + \ frac {R_3} {R_2} \ right) \ end {align *} $$

Lo que equivale a lo que dijiste que necesitabas probar.

Sin embargo, no estaría de más dar un paso más:

$$ \ begin {align *} \ frac {v_o} {i_s} & = - R_1 \ cdot R_3 \ left (\ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} \ right) \\ \\ & = - \ frac {R_1 \ cdot R_3} {R_1 \: \ mid \ mid \: R_2 \: \ mid \ mid \: R_3} \ end {align *} $$

Dado que las tres resistencias están conectadas a fuentes de voltaje y un nodo común, usted esperaría que estén en de alguna manera paralelas entre sí. La ecuación anterior hace que este hecho sea explícito.

Para resolver el circuito, puede intentar aplicar transformaciones delta-wye (triángulo-estrella) , si los conoces. Los tres resistores están en una configuración en estrella (también conocida como wye).

Si los sustituye por la configuración equivalente de triángulo (también conocido como delta), obtendrá un circuito como este:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Luego, puedes convertir la fuente de corriente de entrada con Ra en paralelo a una fuente de voltaje y obtienes el clásico circuito amplificador de inversión.