Ecuación de Mosfet: ¿cómo obtenerla?

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Estoy estudiando el siguiente circuito con un MOSFET

Ahora, para analizar este circuito, mi libro salió con varias ecuaciones (que entiendo totalmente y no tengo dudas al respecto).

Debido a que la corriente de la puerta es cero, tenemos:

(1) $$ V_G = V_ {DD} \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$

Suponiendo que el MOSFET está trabajando en la saturación, también tenemos:

(2) $$ I_D = k (V_ {GS} -V_t) ^ 2 $$

Y aplicando KVL:

(3) $$ V_ {GS} = V_G-R_SI_D $$

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) tenemos:

(4) $$ I_D = k (V_G-R_SI_D -V_t) ^ 2 $$

Ahora llega al punto que no entiendo. Para mostrarnos la dependencia de la corriente de drenaje sobre el voltaje de umbral, el libro toma el derivado de la expresión:

(5) $$ \ frac {dI_D} {dV_t} = \ frac {d} {dV_t} k (V_G-R_SI_D -V_t) ^ 2 $$

y luego escribe:

(6) $$ \ frac {dI_D} {dV_t} = \ frac {-2 \ sqrt {kI_D}} {1 + 2R_S \ sqrt {kI_D}} $$

¿Cómo diablos pasaron de la ecuación (5) a la ecuación (6) tomando la derivada? ¿Qué tipo de sustitución están haciendo?

    

1 respuesta

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$$ \ frac {dI_D} {dV_t} = \ frac {d} {dV_t} k (V_G-R_SI_D -V_t) ^ 2 $$ $$ \ implica \ frac {dI_D} {dV_t} = 2k (V_G-R_SI_D -V_t) (0-R_S \ frac {dI_D} {dV_t} -1) $$ $$ \ implica \ frac {dI_D} {dV_t} = 2k (V_G-R_SI_D -V_t) (0-R_S \ frac {dI_D} {dV_t} -1) --- (1) $$ Dado que: $$ I_D = k (V_G-R_SI_D -V_t) ^ 2 $$ $$ \ implica (V_G-R_SI_D -V_t) = \ sqrt {I_D / k} $$ Por lo tanto (1) \ $ \ implica \ $ $$ \ frac {dI_D} {dV_t} = 2 \ sqrt {kI_D} (- R_S \ frac {dI_D} {dV_t} -1) $$ $$ \ implica \ frac {dI_D} {dV_t} +2 \ sqrt {kI_D} R_S \ frac {dI_D} {dV_t} = -2 \ sqrt {kI_D} $$ $$ \ implica \ frac {dI_D} {dV_t} (1 + 2 \ sqrt {kI_D} R_S) = -2 \ sqrt {kI_D} $$ $$ \ implica \ frac {dI_D} {dV_t} = \ frac {-2 \ sqrt {kI_D}} {1 + 2R_S \ sqrt {kI_D} $$

    
respondido por el MITU RAJ

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