Acerca de RMS en un circuito eléctrico no sinusoidal

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Estoy tratando de calcular la corriente cuadrática media con la definición principal $$ \ sqrt {\ frac {1} {T} \ int_0 ^ T i ^ 2 (t) dt} $$ donde se proporciona la expansión de Fourier as: $$ i (t) = I_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ sqrt {2} I_n \ sin (n \ omega t + \ gamma_n) $$ así que solo se enfoca en cuadrar estos $$ I_0 ^ 2 + 2 \ sqrt {2} I_0 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} I_n \ sin (n \ omega t + \ gamma_n) + (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ sqrt {2} I_n \ sin (n \ omega t + \ gamma_n)) ^ 2 $$ Ahora, al integrar el primer término se producirá $$ I_0 ^ 2 $$ el segundo desaparecerá y bueno para el tercero, creo que necesito extraer solo aquellos que son cuadrados y el resto serían 0, pero realmente no sé cómo. He pensado en el producto Cauchy: $$ \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n \ right) \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n \ right) = \ sum_ {n = 0 } ^ \ infty \ sum_ {k = 0} ^ n a_nb_ {nk} $$ Pero no estoy seguro ya que la suma comienza en 1. ¿Podrías ayudarme a terminar esto?

    
pregunta Dahaka

1 respuesta

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Expandir la suma resultará en

$$ \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ sqrt {2} I_n \ sin (n \ omega t + \ gamma_n) \ right) ^ 2 \\ \ begin {align} & = \ sum_ {n_1 = 1} ^ {\ infty} \ sum_ {n_2 = 1} ^ {\ infty} \ left [2I_ {n_1} I_ {n_2} \ sin (n_1 \ omega t + \ gamma_ {n_1 }) \ sin (n_2 \ omega t + \ gamma_ {n_2}) \ right] \ end {align} $$

Si \ $ n_1 = n_2 = n \ $, entonces simplemente obtenemos

$$ \ int_0 ^ T 2I_n ^ 2 \ sin ^ 2 (n \ omega t + \ gamma_n) dt = I_n ^ 2 $$

Para los términos mixtos donde \ $ n_1 \ neq n_2 \ $, podemos calcular la integral utilizando la siguiente igualdad:

$$ \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) = \ frac {1} {2} \ left (cos (\ alpha- \ beta) - cos (\ alpha + \ beta) \ right) $$

$$ \ begin {align} &erio; \ int_0 ^ T \ sin (n_1 \ omega t + \ gamma_ {n_1}) \ sin (n_2 \ omega t + \ gamma_ {n_2}) dt \\  & = \ int_0 ^ T \ frac {1} {2} \ left (\ cos \ left [(n_1 - n_2) \ omega t + (\ gamma_ {n_1} - \ gamma_ {n_2}) \ right] - cos \ left [(n_1 + n_2) \ omega t + (\ gamma_ {n_1} + \ gamma_ {n_2}) \ right] \ right) dt \\  & = \ frac {1} {2} \ int_0 ^ T \ cos ((n_1-n_2) \ omega t + (\ gamma_ {n_1} - \ gamma_ {n_2})) dt \\  & - \ frac {1} {2} \ int_0 ^ T \ cos ((n_1 + n_2) \ omega t + (\ gamma_ {n_1} + \ gamma_ {n_2})) dt \ end {align} $$

Ambas integrales son de la forma:

$$ \ int_0 ^ T cos (m \ omega t + \ phi) dt $$

con \ $ m \ $ un entero que no sea cero (sino \ $ n_1 = n_2 \ $), lo que significa que \ $ T \ $ es un múltiplo del período de este coseno. Esto último significa que la integral dará como resultado 0.

Por lo tanto, tu fórmula se puede simplificar a

$$ I_0 ^ 2 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} I_n ^ 2 $$

    
respondido por el Sven B

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