Prueba matemática de que la tensión RMS por la corriente RMS proporciona una potencia media

Ley de Ohm $$ 1: V (t) = I (t) R $$

La disipación de energía instantánea es producto de voltaje y corriente $$ 2: P (t) = V (t) I (t) \\ $$

Sustituya 1 en 2 para obtener potencia instantánea a través de una resistencia en términos de voltaje o corriente: $$ 3: P (t) = I ^ 2 (t) R = \ frac {V ^ 2 (t)} {R} \\ $$

La potencia promedio es, en términos de definición, la integral de la potencia instantánea en un período, dividida por ese período. Sustituya 3 en eso para obtener potencia promedio en términos de voltaje y corriente. $$ 4: P_ {avg} = \ frac {\ int_0 ^ T {P (t) dt}} {T} = \ frac {R \ int_0 ^ T {I ^ 2 (t) dt}} {T} = \ frac {\ int_0 ^ T {V ^ 2 (t) dt}} {RT} \\ $$

Definición de RMS actual $$ 5: I_ {RMS} = \ sqrt {\ frac {\ int_0 ^ T {I ^ 2 (t) dt}} {T}} \\ $$ Cuadrados ambos lados $$ 6: I_ {RMS} ^ 2 = \ frac {\ int_0 ^ T {I ^ 2 (t) dt}} {T} \\ $$ Multiplica por R para encontrar la ecuación 4 para la potencia promedio $$ 7: I_ {RMS} ^ 2R = \ frac {R \ int_0 ^ T {I ^ 2 (t) dt}} {T} = P_ {avg} \\ $$ Definición de voltaje RMS $$ 8: V_ {RMS} = \ sqrt {\ frac {\ int_0 ^ T {V ^ 2 (t) dt}} {T}} \\ $$ Cuadrados ambos lados $$ 9: V_ {RMS} ^ 2 = \ frac {\ int_0 ^ T {V ^ 2 (t) dt}} {T} \\ $$ Divide entre R para encontrar la ecuación 4 para la potencia promedio $$ 10: \ frac {V_ {RMS} ^ 2} {R} = \ frac {\ int_0 ^ T {V ^ 2 (t) dt}} {RT} = P_ {avg} \\ $$ Multiplicar expresiones 7 y 10 para poder promedio. $$ 11: P_ {avg} ^ 2 = V_ {RMS} ^ 2I_ {RMS} ^ 2 \\ $$ Raíz cuadrada de ambos lados. $$ 12: P_ {avg} = V_ {RMS} I_ {RMS} \\ $$ Q.E.D.

La prueba muy simple (en el caso de muestreo discreto en la pregunta) es mediante la sustitución de E / R por I en la ecuación de RMS

$$ x _ {\ mathrm {rms}} = \ sqrt {\ dfrac1n (x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x + \ cdots + x_n ^ 2)}. $$

y muy álgebra simple.

Y sí, esto es cierto porque se especifica que tenemos una carga puramente resistiva, por lo que no hay problema de ángulo de fase ni armónico presente en I que no esté también presente en E.

EDIT

definición de RMS para puntos discretos (de Wikipedia): $$ x _ {\ mathrm {rms}} = \ sqrt {\ frac {1} {n} \ left (x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ cdots + x_n ^ 2 \ right)} $$

entonces $$ V_ {RMS} = \ sqrt {\ frac {1} {n} \ left (V_1 ^ 2 + V_2 ^ 2 + \ cdots + V_n ^ 2 \ right)} $$

y $$ I_ {RMS} = \ sqrt {\ frac {1} {n} \ left (I_1 ^ 2 + I_2 ^ 2 + \ cdots + I_n ^ 2 \ right)} $$

y por la Ley de Ohm $$ $$ I_i = V_i / R $$ sustitución:

$$ I_ {RMS} = \ sqrt {\ frac {1} {n} \ left ((V_1 / R) ^ 2 + (V_2 / R) ^ 2 + \ cdots + (V_n / R) ^ 2 \ right)} $$

entonces:

$$ I_ {RMS} = \ sqrt {\ frac {1} {n} \ left (V_1 ^ 2 / R ^ 2 + V_2 ^ 2 / R ^ 2 + \ cdots + V_n ^ 2 / R ^ 2 \ right)} $$

Sacando el 1 / R ^ 2

$$ I_ {RMS} = \ frac {1} {R} \ sqrt {\ frac {1} {n} \ left (V_1 ^ 2 + V_2 ^ 2 + \ cdots + V_n ^ 2 \ right)} $$

entonces:

$$ V_ {RMS} * I_ {RMS} $$ es:

$$ 1 / R (\ frac {1} {n} \ left (V_1 ^ 2 + V_2 ^ 2 + \ cdots + V_n ^ 2 \ right)) $$

distribuyendo el 1 / R:

$$ (\ frac {1} {n} \ left (V_1 ^ 2 / R + V_2 ^ 2 / R + \ cdots + V_n ^ 2 / R \ right)) $$

Utilizando nuevamente la sustitución de la Ley de Ohm:

$$ (\ frac {1} {n} \ left (V_1I_1 + V_2I_2 + \ cdots + V_nI_n \ right)) $$

que es:

$$ \ frac {1} {n} \ sum_ {i = i} ^ n I_i V_i $$

La clave es que para una carga resistiva, el voltaje y la corriente están en fase.

Si el voltaje y la corriente son ambos \ $ \ sin (t) \ $, entonces su producto viene dado por la igualdad \ $ \ sin ^ 2 (t) = 1/2 + 1/2 \ sin (2t PS La potencia es una onda sinusoidal de dos veces la frecuencia, que oscila alrededor de \ $ 1/2 \ $. Este es su promedio en el tiempo (la "media" del "cuadrado"). La raíz del cuadrado medio es \ $ \ sqrt {1/2} = 1 / \ sqrt {2} = \ sqrt {2} / 2 \ approx 0.707 \ $. Ahí es donde obtenemos ese número mágico.

La tensión o la corriente media cuadrada de la raíz son la tensión y la corriente equivalentes de CC que producirán la misma disipación de potencia con el tiempo . Si la disipación de potencia promedio es \ $ 1/2 \ $ W, entonces dicha disipación de potencia puede producirse constantemente por \ $ \ sqrt {2} / 2 \ $ VDC multiplicado por \ $ \ sqrt {2} / 2 \ $ A CORRIENTE CONTINUA.

Si la corriente y el voltaje están desfasados 90 grados (carga reactiva pura), podemos pensar que uno es \ $ \ cos (t) \ $ y el otro es \ $ \ sin (t) \ $. La igualdad aplicable es entonces \ $ \ sin (t) \ cos (t) = 1/2 \ sin (2t) \ $. La forma de onda de potencia ya no está "sesgada" para oscilar alrededor de \ $ 1/2 \ $; su promedio es cero: la energía fluye dentro y fuera de la carga en semiciclos alternativos, ya que la forma de onda de la potencia oscila en positivo y negativo.

Entonces, para responder a la pregunta, el voltaje RMS y la corriente se definen en función de la potencia media: cada uno se deriva de la raíz cuadrada de la potencia media. Multiplicando dos valores que se obtienen de La raíz cuadrada de la potencia media, recupera la potencia media.

Vamos a simplificar más este problema sin matemáticas. Tome este simple circuito que produce una forma de onda cuadrada con un período de 10 segundos.

Elvoltajeesasí

y actual es

Entonceslaformadeondadepotenciaserá

Cuando el interruptor está abierto, no se suministra energía a la resistencia, por lo que la energía total es 10 vatios X 5 segundos = 50 julios, y es lo mismo que aplicamos 5 vatios en 10 segundos

yestaeslapotenciamedia.Elvoltajepromedioesde5voltiosylacorrientepromedioesde0.5amperios.Haciendouncálculosimple,lapotenciapromedioproduce2.5vatioso25julios,locualnoescierto.

EntonceshagamosestetrucoCONESTEPEDIDO:

1. Primerocuadrarelvoltaje(ylacorriente)

2. Segundo,tomaelpromediodelcuadrado

3. Luegotomelaraízcuadradadelpromedio

Elcuadradodelaformadeondadevoltajeserá

Y el promedio es 50V ^ 2 (no 50 ^ 2 voltios). Desde este punto olvídate de la forma de onda. Sólo valores. La raíz cuadrada del valor anterior es 7,071… voltios RMS. Haciendo lo mismo con la corriente se encontrarán 0,7071..A RMS Y la potencia media será 7,071V x 0,7071A = 5 vatios

Si intentas hacer lo mismo con la potencia RMS, el resultado será un sin valor de 7.071 vatios.

Entonces, la única potencia de calefacción equivalente es la potencia promedio y la única forma de calcular es usar los valores rms de voltaje y corriente